Question

如图，⊙O的半径为，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在⊙O上运动．
（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；
（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与⊙O相切的位置关系？若存在，请求出点C的坐标；
（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．

Answer 1

（1）解：

（1）当点A的坐标为（，0）时，可得等边三角形的边长=2-，
由等边三角形的性质可得C₁D=，A₁D=，
故可得点C₁的坐标为（）；
同理：当点A的坐标为（-，0）时，点C₂的坐标为（，）；
（2）连接OA，

①当A点在x轴上方时，
∵直线AB与⊙O相切，
∴OA₁⊥AB，
∴∠OAB=90°，OB=2，OA₁=，
∴sin∠OBA₁=，A₁B=BC₁=1，
∴∠OBA₁=60°，
∴∠CBx=60°，
∴C1E=，BE=，
∴点C的坐标（，）．
②当A点在x轴下方时，
∵∠OBA=60°，
∴C点在x轴上，
∴点C的坐标为（）
（3）过点A作AE⊥OB于点E，

在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=3-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（3-x²）+（ 2-x）²=7-4x，
故S===，
其中≤x≤，
当x=时，S的最大值为，
当x=时，S的最小值为．
分析：（1）需要分两种情况讨论，①点A在x轴负半轴，②点A在x轴的正半轴，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标．
（2）根据题意画出图形，①点A在上半圆上，②点A在下半圆上，
点评：此题考查了切线的性质、一次函数的性质、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，关键是仔细审题，仔细、逐步解答，难度较大．