Question

14．抛物线y=-x²+3x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，如图，点M为y轴负半轴上一动点，点N在y轴左侧，MN⊥MB，MN=MB，连接NC交抛物线于点P，求点P的坐标．

Answer 1

分析 首先求得抛物线y=-x²+3x+4与x轴交点A，B，与y轴交点C，设出M点的坐标，过N作NQ⊥y轴，证得RT△MNQ≌RT△MBO，得出N点坐标，得出NC直线的解析式，与抛物线联立方程求得答案即可．

解答 解：如图，

由题意得：y=-x²+3x+4，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，4），
∵M在y轴负半轴，
∴设M（0，m），m＜0，
过N作NQ⊥y轴，
∵MN⊥MB，MN=MB，
∴∠NMQ=∠MBO，∠MQN=∠BOM，
在Rt△MNQ和Rt△MBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NMQ=∠MBO}\\{∠MQN=∠BOM}\\{MN=MB}\end{array}\right.$，
∴Rt△MNQ≌Rt△MBO，
∴NQ=OM=-m，MQ=BO=4，
∴OQ=MQ-OM=4+m，
∴N（m，4+m），
∴设经过N（m，4+m），C（0，4）两点的直线解析式为：y=kx+4，
∴k=1，
∴经过N（m，4+m），C（0，4）两点的直线解析式：y=x+4，
与y=-x²+3x+4联立，
求得交点为：（0，4），（2，6），
∴P点坐标为（2，6）．

点评 此题考查为二次函数与x轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形全等等知识，理解题意，结合图形，灵活运用知识解决问题．