Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝4，∠A＝120°．动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发，其中点P沿BA向终点A运动，点E沿AD向终点D运动，点M沿DC向终点C运动，且它们的速度都为每秒2个单位．连结PE、PM、EM，设动点P、E、M运动时间为t(单位：秒)，△PEM的面积为S．

(1)判断△PAE与△EDM是否全等，说明理由；

(2)连结BD，求证：△EPM∽△ABD；

(3)求S与t的函数关系式，并求出△PEM的面积的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)△PAE≌△EDM，理由如下： 　　根据题意，得BP＝AE＝DM＝2t， 　　∵AB＝AD＝DC＝4，∴AP＝DE＝4－2t．　　1分 　　∵在梯形ABCD中，AB＝DC， 　　∴∠PAE＝∠EDM．　　2分 　　又AP＝DE，AE＝DM 　　∴△PAE≌△EDM．　　3分 　　(2)证明：∵△PAE≌△EDM， 　　∴PE＝EM，∠1＝∠2．　　4分 　　∵∠3＋∠2＝∠1＋∠BAD， 　　∴∠3＝∠BAD　　5分 　　∵AB＝AD，∴．　　6分 　　∴△EPM∽△ABD　　7分 　　(3)过B点作BF⊥AD，交DA的延长线于F，过P点作PG⊥AD交于G． 　　在Rt△AFB中，∠4＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°， 　　∴BF＝AB·sin∠4＝4·sin60°＝2． 　　∴S△ABD＝．　　8分 　　在Rt△APG中，PG＝AP·sin∠4＝(4－2t)·sin60°＝(2－t)． 　　AG＝AP·cos∠4＝(4－2t)·cos60°＝2－t． 　　∴GE＝ AG＋AE＝2－t＋2t＝2＋t． 　　∴． 　　∵△EPM∽△ABD，∴，　　9分 　　∴S△EPM＝4·＝． 　　∴S与t的函数关系式为S＝．(0≤t≤2)　　10分 　　∵S＝，＞0， 　　∴当t＝1，S有最小值，最小值为．　　12分 　　另一解法(略解) 　　在Rt△APG中，PG＝AP·sin∠4＝(4－2t)·sin60°＝(2－t)． 　　AG＝AP·cos∠4＝(4－2t)·cos60°＝2－t． 　　在Rt△MFD中，FM＝DM·sin∠MDF＝2t·sin60°＝ 　　DF＝DM·cos∠MDF＝2t·cos60°＝t． 　　∴GF＝AG＋AD＋DF＝2－t＋4＋t＝6，GE＝AG＋AE＝2－t＋2t＝2＋t， 　　EF＝ED＋DF＝4－2t＋t＝4－t 　　∴S△EPM＝ S梯形PGFD－S△AGP －S△EFM 　　＝(0≤t≤2)