如图.抛物线m:y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4与x轴交于点A.B.顶点为M.将抛物线m绕点B旋转180°得到新的抛物线n.此时A点旋转至E点.M点旋转至D点．(1)求A.B点的坐标,(2)求抛物线n的解析式,(3)若点P是线段ED上一个动点.过点P作y轴的垂线.垂足为F.连接EF．如果P点的坐标为(x.y).△PEF的面积为s.求s与x的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．

如图，抛物线m：y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4与x轴交于点A、B，顶点为M（3，$\frac{25}{4}$），将抛物线m绕点B旋转180°得到新的抛物线n，此时A点旋转至E点，M点旋转至D点．
（1）求A、B点的坐标；
（2）求抛物线n的解析式；
（3）若点P是线段ED上一个动点（E点除外），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围；如果s有最大值，请求出s的最大值，如果没有请说明理由；
（4）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点的距离为直
径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．

分析（1）在抛物线解析式中令y=0，可求得x的值，可求得A、B的坐标；
（2）由旋转的性质可求得D、E的坐标，利用待定系数法可求得抛物线n的解析式；
（3）先求得直线ED的解析式，可用x表示出点P的坐标，再根据三角形的面积公式可求得s关于x的关系式，利用二次函数的性质可求得s的最大值；
（4）由抛物线解析式可先求得M、C坐标，可求得CG，可判定C在⊙O上，再由勾股定理可证明CG⊥CM，可判定直线CM与⊙G相切．

解答解：（1）-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0
得 x₁=-2；x₂=8．
∴A点坐标为（-2，0），B点的坐标为（8，0）
（2）∵抛物线n是抛物线m绕点B旋转180°得到，则E（18，0），D（13，-$\frac{25}{4}$）
设抛物线n的解析式为y=ax²+bx+c，它经过点B、D、E
∴$\left\{\begin{array}{l}a×{13^2}+b×13+c=-\frac{25}{4}\\{18^2}a+18b+c=0\\{8^2}a+8b+c=0\end{array}\right.$，解得 a=$\frac{1}{4}$，b=-$\frac{13}{2}$，c=36
即抛物线的解析式 y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{13}{2}$x+36
（3）设直线ED的解析式为：y=kx+b
把E、D坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}18k+b=0\\ 13k+b=-\frac{25}{4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{5}{4}\\ b-\frac{45}{2}\end{array}\right.$，
∴直线ED解析式为y=$\frac{5}{4}x-\frac{45}{2}$，
∵点P的坐标为（x，y），
∴s=$\frac{1}{2}$|OF|•|FP|=$\frac{1}{2}$|x|•|y|=$\frac{1}{2}$xy=-$\frac{1}{2}$x（$\frac{5}{4}x-\frac{45}{2}$）=-$\frac{5}{8}{x^2}+\frac{90}{8}x$（13≤x＜18），
∴s=-$\frac{5}{8}$（x-9）²+$\frac{405}{8}$，
∵13≤x＜18，
∴当x=13时，△PEF的面积最大为$\frac{325}{8}$；
（4）直线CM和⊙G相切．理由如下：
∵抛物线m的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
令x=0，得y=4，
∴C（0，4），
∵抛物线m的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}{（x-3）^2}+\frac{25}{4}$，
∴顶点为M（3，$\frac{25}{4}$），
∴OC=4，OG=3，GM=$\frac{25}{4}$
∴CG=5，又 AB=10，⊙G的半径是5，
∴点C在⊙G上．
过点M作y轴的垂线，垂足是N，如图，

则CM²=CN²+MN²=（$\frac{25}{4}$-4）²+3²=$\frac{225}{16}$，
又∵CG²+CM²=5²+$\frac{225}{16}$=$\frac{625}{16}={（\frac{25}{4}）^2}$=GM²，
∴CG⊥CM，
∴直线CM与⊙G相切．

点评本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、旋转的性质、二次函数的最值、直线和圆的位置关系等知识点．在（1）中注意二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系，在（2）中求得E、D的坐标是解题的关键，在（3）中用x表示出点P的纵坐标，从而表示出s是解题的关键，在（4）中求得CG=5，判定出C在⊙G上是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度很大．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>