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(2006•沈阳)某小型企业获得授权生产甲、乙两种奥运吉祥物,生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表:
A种材料(m2B种材料(m2所获利润(元)
每个甲种吉祥物0.30.510
每个乙种吉祥物0.60.220
该企业现有A种材料900m2,B种材料850m2,用这两种材料生产甲、乙两种吉祥物共2000个.设生产甲种吉祥物x个,生产这两种吉祥物所获总利润为y元.
(1)求出y(元)与x(个)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(2)该企业如何安排甲、乙两种吉祥物的生产数量,才能获得最大利润,最大利润是多少?
【答案】分析:(1)本题的等量关系是:总利润=生产甲吉祥物的利润+生产乙吉祥物的利润,可根据此得出函数关系式,然后根据生产甲吉祥物用的A材料+生产乙吉祥物用的A材料≤900;生产甲吉祥物用的B材料+生产乙吉祥物用的B材料≤850.来列出不等式组求出自变量的取值范围.
(2)根据(1)得出的函数关系式,以及自变量的取值范围,依据函数的性质判断出最大利润及生产方案.
解答:解:(1)根据题意得y=10x+20(2000-x)
∴y=-10x+40000
由题意
解得1000≤x≤1500
∴自变量x的取值范围是1000≤x≤1500且x是整数.

(2)由(1)y=-10x+40000
∵k=-10<0
∴y随x的增大而减小
又∵1000≤x≤1500且x是整数
∴当x=1000时,y有最大值,最大值是-10×1000+40000=30000(元)
∴生产甲种吉祥物1000个,乙种吉祥物1000个,所获利润最大,最大利润为30000元.
点评:解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系.准确的解不等式是需要掌握的基本计算能力,要熟练掌握利用自变量的取值范围求最值的方法.
练习册系列答案
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(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;
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(2)该企业如何安排甲、乙两种吉祥物的生产数量,才能获得最大利润,最大利润是多少?

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信息一:如果单独投资A种产品,则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系:yA=kx,并且当投资5万元时,可获利润2万元;
信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系:yB=ax2+bx,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元;当投资4万元,可获利润3.2万元.
(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;
(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少?

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