Question

如图，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求B、C两点坐标；
（2）抛物线y=x²-bx+c经过A、O两点，求抛物线的解析式，并验证点C是否在抛物线上；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△PCM与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在菱形ABCO中，OA=AB=BC=CO，AB∥OC，
所以，∠AHO=∠COH=90°，
∵点A的坐标为（-3，4），
∴OH=4，AH=3，
在Rt△AOH中，OA===5，
∴BH=5-3=2，
∴B（2，4）、C（0，5）；

（2）把点A（-3，4）、O（0，0）代入抛物线解析式中得，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=x²-x，
当x=5时，y=×5²-×5=0，
所以点C（5，0）在抛物线上；

（3）存在．理由如下：
在菱形ABCO中，AB∥OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∠AHO=∠COH=90°，
∴△AMH∽△CMO，
∴==，
∵OH=4，
∴OM=OH=2.5，
①过M作MP₁∥BC交x轴于P₁，
则∠CMP₁=∠BCA，
∵∠BAC=∠OCA，
∴△CMP₁∽△ACB，
在菱形ABCO中，∠ACB=∠ACO，
∴∠CMP₁=∠ACO，
设OP₁=m，则MP₁=5-m，（m＞0）
∴在Rt△MP₁O中，
MP₁²=OP₁²+OM²，
即（5-m）²=m²+2.5²，
解得m=1.875，
所以P₁（1.875，0），
②截取OP₂=OC=5，
∵OM⊥x轴，
∴MP₂=MC，
∴∠MP₂C=∠MCP₂，
由上知：∠MP₂C=∠MCP₂=∠ACB=∠BAC，
∴△CP₂M∽△ACB，
此时P₂（-5，0），
综上所述，P点有两个，坐标为（1.875，0）和（-5，0）．
分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥OC，然后求出∠AHO=∠COH=90°，在根据点A的坐标求出OH、AH的长度，然后利用勾股定理列式计算求出OA的长度，再求出BH的长度即可得到点B的坐标，根据菱形的边OC的长度可得点C的坐标；
（2）把点A、O的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得到抛物线解析式；然后把点C的坐标代入抛物线解析式，符合则点C在抛物线上；
（3）根据菱形的性质判定△AMH和△CMO相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出MH与MO的比值，再根据OH的长度求出OM的长度，根据菱形的性质，△ABC是等腰三角形，所以①过点M作MP₁∥BC交x轴于P₁，利用两组角对应相等，两三角形相似可得△CMP₁和△ACB相似，然后设OP₁=m，表示出MP₁，再利用勾股定理列出方程求解得到m的值，即可得到点P的坐标；②截取OP₂=OC=5，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得MP₂=MC，再根据等边对等角的性质以及菱形的性质可得∠MP₂C=∠MCP₂=∠ACB=∠BAC，然后得到△CP₂M和△ACB相似，然后写出点P的坐标即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了菱形的性质，勾股定理的应用，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定，（3）因为相似三角形对应边不确定，所以要分情况讨论求解．