Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，点M为△ABC的内心．
（1）求证：BC=

2

DM；
（2）若DM=5

2

，AB=8，求OM的长．

Answer 1

分析：（1）连结MC、DC、BD，根据内心的性质得∠ACM=∠BCM，根据圆周角定理由BC为直径得到∠BAC=90°，而AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=45°，再次根据圆周角定理得到∠DBC=∠BCD=45°，于是可判断△BDC为等腰直角三角形，则BC=

2

DC，然后利用三角形外角性质证明∠DMC=∠DCM得到DC=DM，所以有BC=

2

DM；
（2）作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于H，根据（1）的结论由DM=5

2

得到BC=10，根据勾股定理计算出AC=6，根据切线长定理可计算出△ABC的内切圆半径为r=2，则可得到MF=2，CF=4，由OC=5得到OF=1，最后在Rt△OMF中利用勾故定理计算出OM．

解答：（1）证明：连结MC、DC、BD，如图，
∵点M为△ABC的内心，
∴MC平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=45°，
∴∠DBC=∠BCD=45°，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BC=

2

DC，
又∵∠DMC=∠MAC+∠ACM=45°+∠ACM，
而∠DCM=∠BCD+∠BCM，
∴∠DMC=∠DCM，
∴DC=DM，
∴BC=

2

DM；
（2）解：作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于H，如图，
∵DM=5

2

，
∴BC=

2

DM=10，
而AB=8，
∴AC=

BC2-AB2

=6，
设△ABC的内切圆半径为r，
∵点M为△ABC的内心，
∴MH=ME=MF=r，
∴四边形AHME为正方形，
∴AH=AE=r，则CE=CF=6-r，BH=BF=8-r，
而BF+FC=BC，
∴8-r+6-r=10，解得r=2，
∴MF=2，CF=6-2=4，
∵OC=5，
∴OF=5-4=1，
在Rt△OMF中，OM=

MF2+OF2

=

5

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了圆周角定理和勾股定理．