Question

（2012•李沧区一模）如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，点P从点C出发沿CA边以1cm/s的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动，点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．伴随着P、Q运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线BC（或AB或CA）于点E．设P、Q运动的时间是t秒（0＜t＜10）．
（1）当t=2s时，求AP的长．
（2）设△APQ的面积为S（cm²），图中，当点P从C向A运功的过程中，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使△APQ的面积是△ABC面积的

1

12

？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）当点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当t=2时，CP=2，则AP=4；
（2）作QF⊥AC于点F，则△AQF∽△ABC，得出

QF

BC

=

AQ

AB

，又AQ=CP=t，则AP=6-t，则得出S与t的函数关系式即可；
（3）根据△ABC面积的

1

12

=24×

1

12

=2，再利用S=-

2

5

t²+

12

5

t=2，求出即可；
（4）①当DE∥QB时，则四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，即求得t，
②当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形，由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，解得t．

解答：解：（1）∵t=2，∴CP=2cm，
∵AC=6cm，∴AP=4cm；

（2）如图1，作QF⊥AC于点F．
∴△AQF∽△ABC，
∴

QF

BC

=

AQ

AB

，
又∵AQ=CP=t，∴AP=6-t，BC=

102-62

=8（cm），
∴

QF

8

=

t

10

，
∴QF=

4

5

t，
∴S=

1

2

（6-t）•

4

5

t，
即S=-

2

5

t²+

12

5

t；

（3）∵△ABC面积为：

1

2

×AC×BC=

1

2

×6×8=24，
∴△ABC面积的

1

12

=24×

1

12

=2，
∴S=-

2

5

t²+

12

5

t=2，
整理得出：t ²-6t+5=0，
解得：t₁=1，t₂=5，
即当t=1或5秒时，使△APQ的面积是△ABC面积的

1

12

；

（4）能．
①如图2，当DE∥QB时．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，
得

AQ

AC

=

AP

AB

，
∴

t

6

=

6-t

10

，
解得t=

9

4

；
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

10

=

6-t

6

．
解得t=

15

4

．
综上，可知当t=

9

4

或

15

4

时，四边形QBED能成为直角梯形．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理和三角形面积求法等知识，是中考压轴题，注意分类讨论思想的应用．