Question

3．有两个全等的含30°角的直角三角板重叠在一起，如图，将△A′B′C′绕AC的中点M转动，斜边A′B′刚好过△ABC的直角顶点C，且与△ABC的斜边AB交于点N，连接AA′、C′C、AC′．若AC的长为2，有以下五个结论：①AA′=1；②C′C⊥A′B′；③点N是边AB的中点；④四边形AA′CC′为矩形；⑤A′N=B′C=$\frac{1}{2}$，其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 ①根据旋转的性质，可得AM=MC=A′M=MC′=1，根据等腰三角形的性质，可得∠MCA′，根据等边三角形的判定，可得答案；
②根据垂线的性质：过直线外一点与已知直线垂直的直线只有一条，可得答案；
③根据等腰三角形的判定，可得答案
④根据平行四边形的判定，可得四边形AA′CC′是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得答案；
⑤根据勾股定理可得BA的长，根据AB与AN的关系，可得AN的长，根据直角三角形的性质，可得答案．

解答 解：①∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC=2，
∴AM=MC=A′M=MC′=1，
∵∠MA′C=30°，
∴∠MCA′=∠MA′C=30°，
∴∠A′MC=180°-30°-30°=120°，
∴∠A′MA=180°-A′MC=180°-120°=60°，
∴∠AMA′=∠C′MC=60°，
∴△AA′M是等边三角形，
∴AA′=AM=1，故①正确；
②∵∠A′CM=30°，∠MCC′=60°，
∴∠ACA′=∠A′CM+∠MCC′=90°，
∴CC′⊥A′C，故②正确；
③∵∠A′CA=∠NAC=30°，∠BCN=∠CBN=60°，
∴AN=NC=NB，故③正确；
④∵△AA′M≌△C′CM，
∴AA′=CC′，∠MAA′=∠C′CM=60°，
∴AA′∥CC′，
∴四边形AA′CC′是平行四边形，
∵∠AA′C=∠AA′M+∠MA′C=90°，
四边形AA′CC′为矩形，故④正确；
⑤AN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∠NAA′=30°，∠AA′N=90°，
∴A′N=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故⑤错误；
故选：C．

点评 本题考查了旋转的性质，利用了旋转的性质，矩形的判定，等边三角形的判定，直角三角形的性质，所用知识点较多，题目稍有难度．