Question

已知：△ABC与△CDE都是顶角为36°的等腰三角形，BC=CD，AC与BD交于F，且B、C、E三点共线．
（1）求图中共有多少个等腰三角形？并写出来；
（2）要使△BCD≌△ACE，则顶角应该为多少度？并证明．

Answer 1

解：（1）图中有五个三角形为等腰三角形，即：△ABC，△CDE，△BCD，△CFD，
△AFB．
△ABC，△CDE为等腰三角形是题目中的已知条件；
∵BC=CD，∴△BCD为等腰三角形；
∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°
∵∠CDE=36°，∴∠DCE=∠DEC=72°
∵且B、C、E三点共线，∴∠ACD=36°，∠DCE=∠CBD+∠BDC，∴∠CBD=∠BDC=36°
∵∠ACD=36°，∠BDC=36°，∴△CFD为等腰三角形；
∵∠BAC=36°，∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°-36°=36°
∴△AFB为等腰三角形．

（2）顶角为60°．
∵△BCD≌△ACD，
由（1）可知∠BCD=∠BCA+∠ACD=72°+36°=108°，
∠ACE=∠ACD+∠DCE=36°+72°=108°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴BC=AC或CE，
当BC=AC时，△ABC为等边三角形，∴顶角为60°
当BC=CE，∵BC=CD，∴CD=CE，△CDE为等边三角形，∴顶角为60°．
分析：（1）由等腰三角形的判定方法，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即有两边相等的三角形为等腰三角形．从中可以找出等腰三角形的个数．
（2）把△BCD≌△ACE作为条件，来求顶角的度数．可以知道其中有一个顶角相等，那么顶角的邻边相等．从而得出顶角．
点评：本题考查了等腰三角形的判定及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．