Question

13．等边三角形三条中线交于一点，画出图形，请找出图中所有的全等三角形，并证明．
提示：学会有规律地找，才能不重不漏．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，理由符号表示出已知条件，然后再根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，再利用三线合一的性质和全等三角形的判定方法证明全等三角形即可．

解答 已知：△ABC是等边三角形，CE、BF、AD是三条中线，交于点O，
找出图中所有的全等三角形，并证明．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AD是中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
同理：△ABF≌△BCF，△ACE≌△BCE，
∵AC=AB，CE、BF是中线，
∴AE=AF，
∵在△ABF和△ACE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAF=∠CAE}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABF（SAS）；
同理：△ADC≌△BFC，△ABD≌△CBE，
∴△ABD≌△ACD≌△CBE≌△BFC≌△BFA≌△CEA；
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴∠BAO=∠CAO，
在△AEO和△AFO中$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAO=∠FAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴∠AEO=∠BEO=90°，
在△AEO和△BEO中$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠AEO=∠BEO}\\{EO=EO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△BEO（SAS），
∴△AEO≌△AFO≌△BEO，
同理：△BEO≌△BDO≌△CDO≌△CFO≌△AFO，
∴△AEO≌△AFO≌△BEO≌△BDO≌△CDO≌△CFO；
在△ABO和△ACO中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAO=∠CAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
同理△CBO≌△CAO，
∴△ABO≌△ACO≌△BCO．

点评 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．