Question

阅读材料：求1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹³的值．

解：设S＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹²＋2²⁰¹³，将等式两边同时乘以2得：

2S＝2＋2²＋2³＋2⁴＋2⁵＋…＋2²⁰¹³＋2²⁰¹⁴

将下式减去上式得2S﹣S＝2²⁰¹⁴﹣1

即S＝2²⁰¹⁴﹣1

即1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹³＝2²⁰¹⁴﹣1

请你仿照此法计算：

（1）1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰

（2）1＋3＋3²＋3³＋3⁴＋…＋3ⁿ（其中n为正整数）．

 

Answer 1

【答案】

（1）2¹¹－1；（2）（3ⁿ⁺¹﹣1）．

【解析】

试题分析： （1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；

（2）同理即可得到所求式子的值．

试题解析：（1）设S＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰，

将等式两边同时乘以2得2S＝2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰＋2¹¹，

将下式减去上式得：2S﹣S＝2¹¹－1，即S＝2¹¹－1，

则1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰＝2¹¹－1；

（2）设S＝1＋3＋3²＋3³＋3⁴＋…＋3ⁿ，

两边乘以3得：3S＝3＋3²＋3³＋3⁴＋…＋3ⁿ＋3^n＋1，

下式减去上式得：3S－S＝3^n＋1－1，

即S＝ (3^n＋1－1)，则1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=（3ⁿ⁺¹﹣1）．

考点：同底数幂的乘法．