Question

5．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：△ABC≌△EAF；
（2）试判断四边形EFDA的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由△ABE是等边三角形可知：AE=BE，∠EAF=60°，于是可得到∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC，接下来依据AAS证明△ABC≌△EAF即可；
（2）由△ABC≌△EAF可得到EF=AC，由△ACD是的等边三角形进而可证明AC=AD，然互再证明∠BAD=90°，可证明EF∥AD，故此可得到四边形EFDA为平行四边形．

解答 解：（1）证明：∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠EAF=60°，AE=BE，∠EFA=90°．
又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC．
在△ABC和△EAF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠ACB}\\{∠EAF=∠ABC}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EAF．
（2）结论：四边形EFDA是平行四边形．
理由：∵△ABC≌△EAF，
∴EF=AC．
∵△ACD是的等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴AD=EF．
又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠EFA=∠BAD=90°，
∴EF∥AD．
又∵EF=AD，
∴四边形EFDA是平行四边形．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质，证得∠EFA=∠BAD=90°是解题的关键．