Question

分别求所有的实数k，使得关于x的方程kx²+（k+1）x+（k-1）=0
（1）有实根；
（2）都是整数根．

Answer 1

解：（1）当k=0，方程变为：x-1=0，解得x=1；
当k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1，
当△≥0，即-3k²+6k+1≥0，方程有两个实数根，解得≤k≤，
∴当≤k≤时，方程有实数根；
（2）当k=0，方程变为：x-1=0，解得方程有整数根为x=1；
当k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1=-3（k-1）²+4，
一元二次方程都是整数根，则△必须为完全平方数，
∴当△=4，则k=1；当△=1，则k=2；当△=时，k=-；当△=0，则k=1±；
而x=，
当k=1，解得x=0或-2；
当k=2，解得x=-或-1；
当k=-，解得x=2或4；
当k=1±，解得x都不为整数，并且k为其它数△为完全平方数时，解得x都不为整数．
∴当k为0、1、-时方程都是整数根．
分析：（1）分类讨论：当k=0，方程变为：x-1=0，解得x=1；当k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1，则-3k²+6k+1≥0，利用二次函数的图象解此不等式得≤k≤；最后综合得到当≤k≤时，方程有实数根；
（2）分类讨论：当k=0，方程变为：x-1=0，解得方程有整数根为x=1；当k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1=-3（k-1）²+4，要使一元二次方程都是整数根，则△必须为完全平方数，得到k=1，2，-，k=1±；然后利用求根公式分别求解即可得到k=1、2、-时方程的解都为整数．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了分类讨论思想的运用以及一元二次方程都为整数根的必要条件就是判别式为完全平方数．