Question

3．如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4经过点D（2，4），且与x轴交于A（3，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，CD，BC
（1）直接写出该抛物线的解析式
（2）点P是所求抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．
①当0≤m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值
②当-1≤m≤2时，试探求：是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应的m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入可求得a、b的值，可求得抛物线线的解析式；
（2）①由A、C坐标可求得直线AC解析式，再用m表示出点M坐标，表示出ME，再由△BCO∽△GME可表示出GE，求得OG，再利用面积的和差可得到△GMC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；②分∠CPM=90°和∠PCM=90°两种情况，当∠CPM=90°时，可得PC∥x轴，容易求得P点坐标和m的值；当∠PCM=90°时，设PC交x轴于点F，可利用相似三角形的性质先求得F点坐标，可求得直线CF的解析式，再联立抛物线解析式可求得P点坐标和相应的m的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A（3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+4=0}\\{a-b+4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4；
（2）①如图1，过M作ME⊥x轴，交x轴于点E，

由A（3，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴M坐标为（m，-$\frac{4}{3}$m+4），
∵MG∥BC，
∴∠CBO=∠MGE，且∠COB=∠MEG=90°，
∴△BCO∽△GME，
∴$\frac{CO}{ME}$=$\frac{BO}{GE}$，即$\frac{4}{-\frac{4}{3}m+4}$=$\frac{1}{GE}$，
∴GE=-$\frac{1}{3}$m+1，
∴OG=OE-GE=$\frac{4}{3}$m-1，
∴S_△COM=S_梯形COGM-S_△COG-S_△GEM=$\frac{1}{2}$m（-$\frac{4}{3}$m+4+4）-4×（$\frac{4}{3}$m-1）×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{3}$m+1）（-$\frac{4}{3}$m+4）=-$\frac{8}{9}$m²+$\frac{8}{3}$m=-$\frac{8}{9}$（m-$\frac{3}{2}$）²+2，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S最大，即S_最大=2；
②根据题意可知△AEM是直角三角形，而△MPC中，∠PMC=∠AME为锐角，
∴△PCM的直角顶点可能是P或C，
第一种情况：当∠CMPM=90°时，如图2，

则CP∥x轴，此时点P与点D重合，
∴点P（2，4），此时m=2；
第二种情况：当∠PCM=90°时，如图3，

设PC交x轴于点F，由△FCA∽△COA，得$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AC}{AO}$，
∴AF=$\frac{25}{3}$，
∴OF=$\frac{25}{3}$-3=$\frac{16}{3}$，
∴F（-$\frac{16}{3}$，0），
∴直线CF的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+4，
联立直线CF和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+4}\\{y=-\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{23}{16}}\\{{y}_{2}=\frac{325}{64}}\end{array}\right.$，
∴P坐标为（$\frac{32}{16}$，$\frac{325}{64}$），此时m=$\frac{23}{16}$；
综上可知存在满足条件的实数m，其值为2或$\frac{23}{16}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、函数图象的交点等．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用M表示出OG，进一步表示出△GMC的面积是解题的关键，在（2）②中注意分两种情况进行讨论．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大．