Question

已知x、y、z都是实数，且x²+y²+z²=1，则m=xy+yz+zx

1. A.
   只有最大值
2. B.
   只有最小值
3. C.
   既有最大值又有最小值
4. D.
   既无最大值又无最小值

Answer 1

C
分析：先用配方法化成m=[（x+y+z）²-（x²+y²+z²）]=[（x+y+z）²-1]的形式，即可得出最小值，再根据x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，x²+z²≥2xz，三式相加可得最大值．
解答：∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz，
∴m=[（x+y+z）²-（x²+y²+z²）]=[（x+y+z）²-1]≥-，
即m有最小值，
而x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，x²+z²≥2xz，
三式相加得：2（x²+y²+z²）≥2（xy+yz+xz），
∴m≤x²+y²+z²=1，即m有最大值1．
故选C．
点评：本题考查了配方法的应用，难度较大，关键是掌握用配方法求二次函数的最值．