Question

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC₁、BD₁，AC₁与BD₁交于点P.

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形.

①求证：△AOC₁≌△BOD₁.

②请直接写出AC₁ 与BD₁的位置关系.

（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC₁=k BD₁.

判断AC₁与BD₁的位置关系，说明理由，并求出k的值.

（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD₁，设AC₁=kBD₁.

请直接写出k的值和              的值.

 

Answer 1

解：

（1）①证明：

∵四边形ABCD是正方形

∴ＡＣ＝ＢＤ，OC＝OA=ＡＣ，ＯＤ＝OB=ＢＤ

∴OC=OA=ＯＤ＝OB，

∵△C₁OD₁由△COD绕点O旋转得到

∴O C₁= OC，O D₁=OD，∠CO C₁=∠DO D₁

∴O C₁= O D₁       ∠AO C₁=∠BO D₁

∴△AO C₁≌△BOD₁

②ＡC₁⊥BD₁

（2）ＡC₁⊥BD₁

理由如下：∵四边形ABCD是菱形

∴OC＝OA=ＡＣ，ＯＤ＝OB=ＢＤ，AC⊥BD

∵△C₁OD₁由△COD绕点O旋转得到

∴O C₁= OC，O D₁=OD，∠CO C₁=∠DO D₁

∴O C₁＝OA ，O D₁＝OB，∠AO C₁=∠BO D₁

∴

∴

            ∴△AO C₁∽△BOD₁

        ∴∠O AC₁= ∠OB D₁

又∵∠AOB=90°

∴∠O AB+∠ABP+∠OB D₁=90°

∴∠O AB+∠ABP+∠O AC₁=90°

∴∠APB=90°

ＡC₁⊥BD₁

∵△AO C₁∽△BOD₁

∴

∴

（3）