Question

如图，在等腰梯形ABCE中，BC∥AE且AB=BC，以点E为坐标原点建立平面直角坐标系，若将梯形ABCD沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上点D位置，过C、D两点的直线与y轴交于点F．
（1）试判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明你的理由；
（2）如果∠BAE=60°，AB=2cm，那么在y轴上是否存在一点P，使以P、D、F为顶点的三角形构成等腰三角形，若存在，请求出所有可能的P点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若将△EDF沿x轴正方向以1cm/s的速度平移到点E与点A重合时为止，设△EDF在平移过程中与△ECA重合部分的面积为S，平移的时间为x秒，试求出S与x之间的函数关系式及自变量范围，并求出何时S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知易得AB=BC=DA=AB，所以四边形ABCD为菱形．
（2）若△PDF等腰三角形DF可能为腰，分别讨论找出相关系并求出坐标进行判断．
（3）由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，则DE=2，AD=2，设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′M=x，AD'=AE-D′E′-EE'=4-2-x=2-x，可得S_△EME′=x²，S_△AD′N=（2-x）²，则S=S_△ADE-S_△EME′-S_△AD′N，代入整理可得S与x的解析式，根据二次函数的性质求得最大值即可．
解答：解：（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：因为点B和点D关于直线AC对称所以AB=AD，BC=DC．由AB=BC得AB=BC=DA=AB，所以四边形ABCD为菱形．

（2）因为四边形ABCD为菱形，所以DF∥AB，所以∠CDE=∠CED=60°，所以△CDE为等边三角形，所以DE=CD=AB=2cm．在Rt△DEF中，DF=DEcos60°=2cos60°=4cm．
①如果以F为顶点，即FP=FD时，P点坐标为（0，4+2），（0，2-4）；
②如果以P为顶点，即PF=PD时，P点坐标为（0，）；
③如果以D为顶点，即DF=DP时，P点坐标为（0，-2）．
综上所述，P点坐标为（0，4+2），（0，2-4），（0，），（0，-2）．

（3）

由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，则DE=2，AD=2
①设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′A=4-x，AD'=AE′-E′D′=4-x-2=2-x，
可得S_△A′ME′=（4-x）²，S_△AD′N=（2-x）²，
则S=S_△A′ME′-S_△AD′N=（4-x）²-（2-x）²（0≤x≤1）；

②设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′M=x，AD'=AE-D'E′-EE′=4-2-x=2-x
可得S_△EME′=x²
S_△AD′N=（2-x）²，
则S=S_△AME-S_△EME′-S_△AD′N=x²-（2-x）²=-（1≤x≤2）
当x=-=，则当x=1时，S有最大值是：（2-1）²=；
③设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，AE′=4-x，
可得S=S_△A′ME′=（4-x）²（2≤x≤4）．

点评：本题考查梯形，菱形、直角三角形、二次函数的相关知识的理解及运用，综合性强，做题时要注意知识点之间的联系．