Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，CD是∠ACB的平分线．
（1）∠ADC=

60°

．
（2）求证：BC=CD+AD．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和可求出∠ACB的度数，利用角平分线的性质即可求出∠ACD的度数，进而求出∠ADC的度数；
（2）延长CD使CE=BC，连接BE，在CB上截取CF=AC，连接DF，可证明△ACD≌△FCD（SAS）和△BDE≌△BDF（ASA），进而证明BC=CD+AD．

解答：（1）解：∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=

1

2

（180°-∠A）=40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

∠ACB=20°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-100°-20°=60°，
故答案为60°；

（2）证明：延长CD使CE=BC，连接BE，
∴∠CEB=∠CBE=

1

2

（180°-∠BCD）=80°，
∴∠EBD=∠CBE-∠ABC=80°-40°=40°，
∴∠EBD=∠ABC，
在CB上截取CF=AC，连接DF，
在△ACD和△FCD中，

AC=CF ∠ACD=∠FCD=20° CD=CD

，
∴△ACD≌△FCD（SAS），
∴AD=DF，
∠DFC=∠A=100°，
∴∠BDF=∠DFC-∠ABC=100°-40°=60°，
∵∠EDB=∠ADC=60°，
∴∠EDB=∠BDF，
∵∠EBD=∠FBD=40°，
在△BDE和△BDF中，

∠EDB=∠BDF BD=BD ∠EBD=∠FBD

，
∴△BDE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF=AD，
∵BC=CE=DE+CD，
∴BC=AD+CD．

点评：本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定的难度．