如果一个三角形有一边上的中线与这边的长相等.那么称这个三角形为“和谐三角形．(1)请用直尺和圆规在图1中画一个以线段AB为一边的“和谐三角形 ,(2)如图2.在△ABC中.∠C=90°.AB=$\sqrt{7}$.BC=$\sqrt{3}$.请你判断△ABC是否是“和谐三角形 ?证明你的结论,(3)如图3.已知正方形ABCD的边长为1.动点M.N从点A同时出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．如果一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，那么称这个三角形为“和谐三角形”．
（1）请用直尺和圆规在图1中画一个以线段AB为一边的“和谐三角形”；
（2）如图2，在△ABC中，∠C=90°，AB=$\sqrt{7}$，BC=$\sqrt{3}$，请你判断△ABC是否是“和谐三角形”？证明你的结论；
（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为1，动点M，N从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点M经过的路程为S，当△AMN为“和谐三角形”时，求S的值．

分析（1）取AB的中点O，以O为圆心，以AB为半径画圆，在圆上任意取一点C（点E、F除外），构建三角形ABC，可得符合条件的三角形；
（2）作中线BD，分别求BD和AC为2，可得结论；
（3）因为点M在AB上时，△AMN是等腰直角三角形，不可能是“和谐三角形”，
所以分以下两种情况讨论：
（Ⅰ）当底边MN的中线AE=MN时，如图3，根据AE=MN，列式得s的值；
（Ⅱ）当腰AM与它的中线NG相等，即AM=GN=AN时，根据tan∠HMN=$\frac{HN}{MH}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；tan∠AME=$\frac{AE}{ME}$=$\frac{s}{2-s}$，列式可得s的值．

解答解：（1）如图1，
①作线段AB的中点O，
②以点O为圆心，AB长为半径画圆，
③在圆O上取一点C（点E、F除外），连接AC、BC．
∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如图2，∠C=90°，AB=$\sqrt{7}$，BC=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
取AC的中点D，连接BD，
∴CD=1，
在Rt△BCD中，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=2，
∴中线BD=边AC，
∴△ABC是“和谐三角形”；

（3）易知，点M在AB上时，△AMN是等腰直角三角形，不可能是“和谐三角形”，
当M在BC上时，连接AC交MN于点E，
（Ⅰ）当底边MN的中线AE=MN时，如图3，
由题意得：AC=$\sqrt{2}$，MC=2-S，
∵动点M，N从点A同时出发，以相同速度运动，
∴AB+BM=DN+AD，
∴MC=CN，
∴△MCN是等腰直角三角形，
∴MN=$\sqrt{2}$MC=$\sqrt{2}$（2-s），CE=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-S），
∵AE=MN，
∴$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}（2-s）=\sqrt{2}（2-s）$，S=$\frac{4}{3}$；
（Ⅱ）当腰AM与它的中线NG相等，即AM=GN=AN时，
作NH⊥AM于H，如图4，
∵NG=NA，NH⊥AM，
∴GH=AH=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{4}$AM，
在Rt△NHA中，
NH=$\sqrt{A{N}^{2}-（\frac{1}{4}AM）^{2}}$=$\sqrt{A{M}^{2}-（\frac{1}{4}AM）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}AM$，
在Rt△NHM中，tan∠HMN=$\frac{HN}{MH}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}AM}{\frac{3}{4}AM}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
在Rt△AME中，tan∠AME=$\frac{AE}{ME}$=$\frac{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}（2-s）}{\frac{\sqrt{2}}{2}（2-s）}$=$\frac{s}{2-s}$，
则 $\frac{s}{2-s}=\frac{\sqrt{15}}{3}$；
s=5-$\sqrt{15}$，
综上，S=$\frac{4}{3}$或5-$\sqrt{15}$时．

点评本题考查四边形综合题、三角形的中线的定义、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考创新题目．

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