在△ABC中.∠ACB=90°.AC=2$\sqrt{5}$.BC=4$\sqrt{5}$.D.E分别是边AB.BC的中点．点P从点C出发.沿线段CD方向以每秒1个单位长度的速度运动.当点P与点D不重合时.以EP.ED为邻边作平行四边形EDFP．设点P的运动时间为t．(1)线段AB的长为10．(2)当∠DPF=∠PFD时.求t的值．(3)当点P在线段CD上时.设平行四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，D、E分别是边AB、BC的中点．点P从点C出发，沿线段CD方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点P与点D不重合时，以EP、ED为邻边作平行四边形EDFP．设点P的运动时间为t（t≥0）（秒）．
（1）线段AB的长为10．
（2）当∠DPF=∠PFD时，求t的值．
（3）当点P在线段CD上时，设平行四边形EDFP与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），求y与t之间的函数关系式．
（4）连结AF，当△AFD的面积与△PDE的面积相等时，直接写出t的值．

分析（1）利用勾股定理得出AB的长；
（2）如图1，证明PE∥DB，由CE=EB，根据中位线的推论可得：PC=PD=$\frac{5}{2}$，则t=$\frac{5}{2}$；
（3）分两种情况：
①当0≤t≤$\frac{5}{2}$时，如图2，平行四边形EDFP与△ABC重叠部分图形的面积为平行四边形EDFP的面积，作PM⊥DE于点M，根据平行四边形的面积公式可得结论；
②当$\frac{5}{2}$＜t＜5时，如图3，同理得PH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t），根据y=S_△PHD+S_△PDE代入可得关系式；
（4）①当t=0时，△AFD的面积与△PDE的面积相等；
②如图4，当A、P、E三点共线时，根据等底等高的两个三角形相等得：△AFD的面积与△PDE的面积相等，根据三角形的中位线得出t的值．

解答解：（1）△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（4\sqrt{5}）^{2}}$=10；
故答案为：10；

（2）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴FP∥DE，PE∥DF，
∴∠DPF=∠PDE，
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DB=DA=5，
∵CE=EB，
∴DE⊥BC，∠CDE=∠EDB，
∵∠DPF=∠PFD，
∴∠PED=∠BDE，
∴PE∥DB，
∵CE=EB，
∴PC=PD=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{5}{2}$；

（3）①当0≤t≤$\frac{5}{2}$时，如图2，作PM⊥DE于点M，
由题意得：PC=t，则DP=5-t，
∵PM∥CE，
∴$\frac{PM}{CE}=\frac{DP}{DC}$，
∴$\frac{PM}{2\sqrt{5}}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t），
∴y=DE•PM=$\sqrt{5}$$•\frac{2\sqrt{5}}{5}（5-t）$=-2t+10，
②当$\frac{5}{2}$＜t＜5时，如图3，
∵PH∥AC，
∴$\frac{PH}{AC}=\frac{DP}{CD}$，
∴$\frac{PH}{2\sqrt{5}}=\frac{5-t}{5}$，
∴PH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t），
∴y=S_△PHD+S_△PDE=$\frac{1}{2}$PH•PM+$\frac{1}{2}$（-2t+10）=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t）•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t）-t+5=$\frac{2}{5}{t}^{2}$-5t+15，
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{-2t+10（0≤t≤\frac{5}{2}）}\\{\frac{2}{5}{t}^{2}-5t+15（\frac{5}{2}＜t＜5）}\end{array}\right.$；

（4）①当t=0时，△AFD的面积与△PDE的面积相等，
②如图4，当A、P、E三点共线时，
∵AE∥DF，
∴S_△ADF=S_△PDF=S_△PED，
∵DE∥AC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{PD}{PC}=\frac{1}{2}$，
∴PC=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{10}{3}$，
∴t=$\frac{10}{3}$，
∴当t=0或t=$\frac{10}{3}$时，△AFD的面积与△PDE的面积相等．

点评本题是四边形的综合题，考查了三角形的中位线定理、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、动点运动问题及重叠部分图形的面积问题，有难度，本题还采用了分类讨论的思想，在计算重叠部分图形时，利用数形结合解决问题，对于第四问，熟练掌握等底等高的两个三角形相等是关键．

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