Question

如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当AB=AC时，判断四边形DEFG的形状；
（3）连接OA，当OA=BC时，判断四边形DEFG的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线定理推知ED∥FG，ED=FG，则由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形DEFG是平行四边形；
（2）矩形．连接AO并延长交BC于点M，先由三角形中线的性质得出M为BC的中点，当AB=AC时，由等腰三角形三线合一的性质得出AM⊥BC，再由三角形中位线的性质及平行线的性质得出EF⊥FG，从而证明?EFGH是矩形．
（3）利用三角形中位线定理证得平行四边形DEFG的邻边DG=FG．则四边形DEFG是菱形．

解答：（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点
∴ED∥BC，ED=

1

2

BC．
同理FG∥BC，FG=

1

2

BC，
∴ED∥FG，ED=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解：如图1，当AB=AC时，?DEFG变成矩形．理由如下：
连接AO并延长交BC于点M．
∵三角形的三条中线相交于同一点，△ABC的中线BD、CE交于点O，
∴M为BC的中点，
当AB=AC时，AM⊥BC，
∵E，F，G分别是AB，OB，OC的中点，
∴EF∥AO，FG∥BC，
∴EF⊥FG；
∴?EFGH是矩形．

（3）解：如图2，当OA=BC时，四边形DEFG是菱形．
∵D、G分别是AC、OC的中点
∴DG=

1

2

AO．
∵OA=BC
∴DG=FG．
∵四边形DEFG是平行四边形
∴四边形DEFG是菱形．

点评：本题考查了平行四边形、矩形的判定，三角形的中位线性质定理，三角形中线的性质及等腰三角形的性质，其中三角形的中位线的性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．