Question

为了探索三角形的内切圆半径r与周长L、面积S之间的关系，在数学实验活动中，选取等边三角形（图甲）和直角三角形（图乙）进行研究．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F．

（1）用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长，填入空格处，并计算出周长L和面积S．（结果精确到0.1厘米）

	AC	BC	AB	r	L	s
图甲				0.6
图乙			5.0	1.0

（2）观察图形，利用上表实验数据分析、猜测特殊三角形的r与L、S之间关系，并证明这种关系对任意三角形（图丙）是否也成立？

Answer 1

分析：（1）首先运用刻度尺进行准确测量，然后根据周长等于三边之和进行计算，根据面积等于分割成的三个三角形的面积进行计算；
（2）根据表格中的数据，易猜想得到r=

2S

L

．再根据三角形的总面积等于分割成的三部分的面积进行计算证明．

解答：解：（1）

	AC	BC	AB	r	L	s
图甲	2.0	2.0	2.0	0.6	6.0	1.7（或1.8）
图乙	3.0	4.0	5.0	1.0	12.0	6.0

（2）由图表信息猜测，得r=

2S

L

（或者2s=Lr）并且此关系对一般三角形都成立．
证明：在任意△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA、OB、OD，得
S=

1

2

BC•r+

1

2

AC•r+

1

2

AB•r=

1

2

Lr
∴r=

2S

L

．

点评：此题导出了三角形的内切圆半径的一个公式，即三角形的内切圆的半径等于面积的2倍除以周长．