Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x²+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A （1，0），B （1，-5），D （4，0）。
（1）求c，b （用含t的代数式表示）；
（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N。
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=；
（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围。

Answer 1

解：（1）把x=0，y=0代入y=x²+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x²+bx，得t²+bt=0，
∵t＞0，
∴b=-t；
（2）①不变，
当x=1时，y=1﹣t，故M（1，1-t），
∵tan∠AMP=1，
∴∠AMP=45°；
②S=S_{四边形AMNP}-S_△PAM=S_△DPN+S_梯形NDAM-S_△PAM=（t-4）（4t﹣16）+[（4t-16）+（t﹣1）]×3-（t-1）（t-1）=，
解
得：t₁=，t₂=，
∵4＜t＜5，
∴t₁=舍去，
∴t=；
（3）。