Question

如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）判断△CAD是什么形状的三角形，说明理由；
（3）若CD=2，AC=

3

，∠ACD=30°，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意得出∠1=∠2，进而利用SAS即可得出△AOC≌△BOD；
（2）利用△AOC≌△BOD，则∠CAO=∠DBO=45°，即可得出△CAD是直角三角形；
（3）利用∠ACD=30°，CD=2，结合直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半得出AD=

1

2

CD=1，得出AB=AD+BD=AD+AC即可得出答案．

解答：（1）证明：∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，
∠AOB=∠COD=90°，
∴∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOC和△BOD中

CO=DO ∠1=∠2 OA=OB

，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；

（2）解：△CAD是直角三角形；
理由：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO=45°，
又∠BAO=45°，
∴∠CAD=90°，
∴△CAD是直角三角形；

（3）解：在Rt△CAD中，∠ACD=30°，CD=2，
∴AD=

1

2

CD=1，
又∵△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，
∴AB=AD+BD=AD+AC=1+

3

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的判定方法，根据全等三角形的判定AOC≌△BOD是解题关键．