分析 (1)根据抛物线解析式,可得点A、C的坐标,继而可求直线AC的函数表达式;
(2)判断△ABC是等腰直角三角形,可得点B的坐标,代入可求出k的值;
(3)连接AP、CP,过点P作PE⊥OA于点E,根据S△PAC-S四边形OAPC-S△AOC,可得S与x的函数关系式,利用配方法可得S的最大值;
(4)先求出n关于a的表达式,然后分类讨论:①a>0,②a<0,再由m与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数,分别得出m、n的取值范围,继而可得a的取值范围.
解答 解:(1)令x=0,可得y=2,
令y=0,可得x1=2,x2=k,
则可得A(2,0),C(0,2),
故直线AC:y=-x+2.
(2)由题得B(k,0),
∵∠CAB=45°,∠ABC≠90°,
∴∠ACB=90°且Rt△ABC为等腰直角三角形,
∴B(-2,0),
∴k=-2.
(3)连接AP、CP,过点P作PE⊥OA于点E,
∵k=-2,
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+2,
设点P坐标为(x,-$\frac{1}{2}$x2+2),
则OE=x,PE=-$\frac{1}{2}$x2+2,AE=2-x,
S梯形OCPE=$\frac{1}{2}$(PE+OC)×OE,S△APE=$\frac{1}{2}$AE×PE,
∴S△PAC=S四边形OAPC-S△AOC=S梯形OCPE+S△APE-S△AOC
=-$\frac{1}{2}$x2+x
=-$\frac{1}{2}$(x-1)2+$\frac{1}{2}$,
当x=1时,S取得最大,最大值为$\frac{1}{2}$.
(4)∵y=-x+2,点M在AC上,m=1-a,
∴n=a+1,
∵m≠n,
∴a≠0,
∵在m与n之间有且只有一个整数,
∴当a>0时,m<1<n,$\left\{\begin{array}{l}0≤m<1\\ 1<n≤2\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}0≤1-a<1\\ 1<a+1≤2\end{array}\right.$,
解得:-1≤a<0;
当a<0时,n<1<m$\left\{\begin{array}{l}1<m≤2\\ 0≤n<1\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}1<1-a≤2\\ 0≤a+1<1\end{array}\right.$,
解得:0<a≤1
∴-1≤a<0或0<a≤1.
点评 本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求一次函数解析式、不等式组的解,难点在第三问,如果不能得出m、n的取值范围,可画出数轴观察,注意数形结合及分类讨论思想的应用.
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