Question

20．如图，抛物线y=$\frac{1}{k}$（x-2）（x-k）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）当△ABC为直角三角形时，求k的值；
（3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点P，且点P的横坐标为x（0＜x＜2），设△PAC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（4）点M（m，n）是直线AC上的动点．设m=1-a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线解析式，可得点A、C的坐标，继而可求直线AC的函数表达式；
（2）判断△ABC是等腰直角三角形，可得点B的坐标，代入可求出k的值；
（3）连接AP、CP，过点P作PE⊥OA于点E，根据S_△PAC-S_{四边形OAPC}-S_△AOC，可得S与x的函数关系式，利用配方法可得S的最大值；
（4）先求出n关于a的表达式，然后分类讨论：①a＞0，②a＜0，再由m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，分别得出m、n的取值范围，继而可得a的取值范围．

解答 解：（1）令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x₁=2，x₂=k，
则可得A（2，0），C（0，2），
故直线AC：y=-x+2．

（2）由题得B（k，0），
∵∠CAB=45°，∠ABC≠90°，
∴∠ACB=90°且Rt△ABC为等腰直角三角形，
∴B（-2，0），
∴k=-2．

（3）连接AP、CP，过点P作PE⊥OA于点E，
∵k=-2，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2，
设点P坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x²+2），
则OE=x，PE=-$\frac{1}{2}$x²+2，AE=2-x，
S_梯形OCPE=$\frac{1}{2}$（PE+OC）×OE，S_△APE=$\frac{1}{2}$AE×PE，
∴S_△PAC=S_{四边形OAPC}-S_△AOC=S_梯形OCPE+S_△APE-S_△AOC
=-$\frac{1}{2}$x²+x
=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
当x=1时，S取得最大，最大值为$\frac{1}{2}$．

（4）∵y=-x+2，点M在AC上，m=1-a，
∴n=a+1，
∵m≠n，
∴a≠0，
∵在m与n之间有且只有一个整数，
∴当a＞0时，m＜1＜n，$\left\{\begin{array}{l}0≤m＜1\\ 1＜n≤2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}0≤1-a＜1\\ 1＜a+1≤2\end{array}\right.$，
解得：-1≤a＜0；
当a＜0时，n＜1＜m$\left\{\begin{array}{l}1＜m≤2\\ 0≤n＜1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1＜1-a≤2\\ 0≤a+1＜1\end{array}\right.$，
解得：0＜a≤1
∴-1≤a＜0或0＜a≤1．

点评 本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求一次函数解析式、不等式组的解，难点在第三问，如果不能得出m、n的取值范围，可画出数轴观察，注意数形结合及分类讨论思想的应用．