Question

8．如图，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=3$\sqrt{2}$，点D的坐标是（5，0），∠BDO=15°，将△BDE旋转得到△ABC的位置，点C在BD上，则过A、B、D三点圆的圆心坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 作线段AB与BD的垂直平分线，它们的交点即为过A、B、D三点圆的圆心P，连接PD、PB、PE，过P作PF⊥x轴于F，利用旋转的性质得BC=DE，PB=PD，PE=PC，则可证明△PBC≌△PDE，所以∠PBC=∠PDE，易得∠PDB=∠PDE=$\frac{1}{2}$∠BDE=45°，于是可判断△PBD为等腰直角三角形，则PD=BD=3，然后在Rt△PDF中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出DF和PF，从而可确定P点坐标．

解答 解：作线段AB与BD的垂直平分线，它们的交点即为过A、B、D三点圆的圆心P，连接PD、PB、PE，过P作PF⊥x轴于F，
∵△BDE旋转得到△ABC的位置，点C在BD上，
∴BC=DE，PB=PD，PE=PC，
在△PBC和PDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PD}\\{BC=DE}\\{PC=PE}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDE，
∴∠PBC=∠PDE，
而PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PDB=∠PDE=$\frac{1}{2}$∠BDE=45°，
∴△PBD为等腰直角三角形，
∴PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=3，
∵∠BDO=15°，
∴∠PDO=45°+15°=60°，
∴∠DPF=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，PF=$\sqrt{3}$DF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∵点D的坐标是（5，0），
∴OF=OD-DF=5-$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴P点坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$），
故答案为：（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是证明△PBD为等腰直角三角形．