Question

如图，
（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP=______
（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．
（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与PA•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？
（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD=，求PC、PD的长．

Answer 1

解：（1）连接OP，过点P作CD⊥OP于点P，连接OD．
根据题意，得CD=8，OD=5．
根据垂径定理，得PD=4，
根据勾股定理，得OP=3；



（2）根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线．
根据（1）的求解方法，得OQ=4，则PQ=1或7；

（3）连接AM、BN．
∵∠A=∠N，∠M=∠B，
∴△APM∽△NPB，
∴，
即PM•PN=PA•PB；

（4）作直径AB，根据相交弦定理，得PC•PD=PA•PB=（5-3）（5+3）=16，
又CD=，
设PC=x，则PD=-x，则有x（-x）=16，
解，得x=3或x=．
即PC=3或，PD=或3．
分析：（1过点P的最短的弦即为过点P垂直于OP的弦，根据垂径定理、勾股定理进行计算；
（2）根据（1）的方法求得OQ的长，进而求得PQ的长；
（3）根据相似三角形的判定及性质进行证明；
（4）过点P作直径EF，根据（3）中得到的结论，知PC•PD=PE•PF，再结合已知条件进行计算．
点评：此题的综合性较强，综合考查了相交弦定理、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定及性质．