Question

已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MN．
（1）若正方形的边长为a，求BM•DN的值．
（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）根据角平分线的定义求出∠CBM=∠CDN=45°，再求出∠ABM=∠ADN=135°，然后根据正方形的每一个角都是90°求出∠BAM+∠NAD=45°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和∠BAM+∠AMB=45°，从而得到∠NAD=∠AMB，再求出△ABM和△NDA相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）过点A作AF⊥AN并截取AF=AN，连接BF、FM，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“边角边”证明△ABF和△ADN全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，再求出∠FAM=∠MAN=45°，然后利用“边角边”证明△AFM和△ANM全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=NM，再求出△FBM是直角三角形，然后利用勾股定理判断即可．

解答：解：（1）∵BM、DN分别平分正方形的两个外角，
∴∠CBM=∠CDN=45°，
∴∠ABM=∠ADN=135°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠NAD=45°，
在△ABM中，∠BAM+∠AMB=∠MBP=45°，
∴∠NAD=∠AMB，
在△ABM和△NDA中，

∠ABM=∠ADN ∠NAD=∠AMB

，
∴△ABM∽△NDA，
∴

AB

DN

=

BM

AD

，
∴BM•DN=AB•AD=a²；

（2）以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．
证明如下：如图，过点A作AF⊥AN并截取AF=AN，连接BF、FM，
∵∠1+∠BAN=90°，
∠3+∠BAN=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABF和△ADN中，

AB=AD ∠1=∠3 AF=AN

，
∴△ABF≌△ADN（SAS），
∴BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，
∵∠FAN=90°，∠MAN=45°，
∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45°，
在△AFM和△ANM中，

AF=AN ∠FAM=∠MAN AM=AM

，
∴△AFM≌△ANM（SAS），
∴FM=NM，
∴∠FBP=180°-∠FBA=180°-135°=45°，
∴∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°，
∴△FBM是直角三角形，
∵FB=DN，FM=MN，
∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形和直角三角形．