Question

在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（-4，0）、（0，0）、（0，3），点C在第一象限内，将?ABCD绕点B逆时针方向旋转，使C点落在y轴的正半轴的点P处，顶点D、A的对应点分别为Q、T．
（1）求点C坐标；
（2）求直线PQ的函数解析式；
（3）将?PQTB沿y轴向上平移，得到?P′Q′T′B′，设BB′=m（0＜m≤3）．?P′Q′T′B′与?ABCD重叠部分面积为S，求S关于m的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵（-4，0）、（0，0）、（0，3），四边形ABCD是平行四边形，点C在第一象限，
∴AB=4，AB=CD且AB∥CD，
故可得点C的坐标为（4，3）．

（2）∵点C坐标为（4，3），
∴BC=5，
显然，P点坐标为（0，5），且PQ=DC=4，∠QPB=∠DAB．
过Q点作QH⊥BD，垂足为H，

在Rt△PQH中，QH=PQ•sin∠QPH=PQ•sin∠DAB=4×=，PH=PQ•cos∠QPH=PQ•cos∠DAB=4×=．
故可得：BH=PB-PH=5-=，
从而可得Q（-，），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，则

解得，
故直线PQ的解析式为y=x+5．

（3）设B′T′与AB交于点M，Q′T′交AB于点E，交AD于点F，
∵0＜m≤3，
∴S=S_梯形BDFE-S_△BB′M，
由（2）可知，BE=QH=，
∴AE=AB-BE=4-=，
∴EF=AE•tan∠DAB=×=，
∴S_梯形BDFE=（EF+BD）•BE=×（+3）×=，
又∵ET′∥BB′，
∴∠MB′B=∠T′=∠DAB．
∴BM=BB′•tan∠MB'B=m•tan∠DAB=m，
∴S_△BB'M=BM•BB′=×m×m=m²，
∴S=-m²（0＜m≤3）．
分析：（1）先求出AB的长度，从而可得出CD，再由点D的坐标即可得出点C的坐标；
（2）点P的坐标易求出，关键是求出Q点的坐标，可过Q作QH⊥y轴于H，那么可在直角三角形PQH中，根据PQ的长和∠QPB的三角函数值（∠QPB=∠DAB），求出PH，QH的长，即可得出Q点的坐标，然后用待定系数法求出直线PQ的解析式．
（3）当0＜m≤3，B'在线段BD上，此时重合部分是个五边形．设TB'与x轴的交点为M，AD与Q'T的交点为F，那么重合部分的面积可用梯形EFDB的面积-三角形EBB'的面积来求得．
梯形的上底可用AE的长和∠DAB的正切值求出（AE的长为A点横坐标绝对值与Q点横坐标绝对值的差），同理可在直角三角形BB′M中求出BM的长，由此可求出S、m的函数关系式．
点评：本题考查了一次函数综合题，涉及了平行四边形的性质、图形面积的求法以待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性强，第二问的难点在于求点Q的坐标，第三问关键是求出梯形EFDB的面积和△EBB'的面积，难度较大．