Question

13．已知：如图，AB是半圆O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC，交DC的延长线于点E，交半圆O于点F，且C为$\widehat{BF}$的中点．
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）若∠BCD=30°，求证：∠EAC=∠D．

Answer 1

分析 （1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．
（2）由∠EAC=∠BAC，∠BCD=∠BAC，得出∠EAC=∠BCD=30°，然后根据圆周角定理和三角形外角的性质求得∠D=30°，即可证明结论．

解答 （1）证明：连接OC；
∵C为$\widehat{BF}$的中点，
∴∠EAC=∠BAC；
又在圆中OA=OC，
∴∠AC0=∠BAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE（内错角相等，两直线平行）；
则由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切线．
（2）证明：∵DC是⊙O的切线，
∴∠BCD=∠BAC，
∵∠BCD=30°，
∴∠BAC=30°，
∵∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=30°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠D+∠BCD，
∴∠D=30°，
∴，∠EAC=∠D．

点评 本题考查了切线的判定、切线的性质、圆周角定理的应用，三角形外角的性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．