Question

9．已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），且0A=0B
（1）求△AOB的面积；
（2）求△AOB三边上的高；
（2）求两个函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用两点间的距离公式计算出OA=5，则B点坐标为（0，-5），然后根据三角形面积公式求解；
（2）根据三角形面积公式即可求解．
（3）先根据待定系数法确定正比例函数解析式为y=$\frac{4}{3}$x；然后根据待定系数法确定直线AB的解析式．

解答 解：（1）∵A点坐标为（3，4），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OB=OA=5，
△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$．
（2）∵OA=OB=5，
∴B点坐标为（0，-5），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+（4+5）^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∵点A（3，4），
∴边OB上的高为3，
∵OA=OB，
∴边OA上的高为3，
∵$\frac{1}{2}$AB•h_AB=$\frac{15}{2}$，
∴h_AB=$\frac{15}{3\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴△AOB三边上的高分别是3，3，$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
（3）设直线OA的解析式为y=kx，
把A（3，4）代入得4=3k，解得k=$\frac{4}{3}$，
所以直线OA的解析式为y=$\frac{4}{3}$x；
设直线AB的解析式为y=ax+b，
把A（3，4）、B（0，-5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=4}\\{b=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
故直线AB的解析式为y=3x-5．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂平行，则k₁=k₂；若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．