Question

已知关于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m-3=0．
（1）求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若直线y=（m-1）x+3与函数y=x²+m的图象C₁的一个交点的横坐标为2，求关于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m-3=0的解．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y=x²-（m-1）x+m-3绕原点旋转180°，得到图象C₂，点P为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别与图象C₁、C₂交于M、N两点，当线段MN的长度最小时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）证明方程总有两个不相等的实数根，也就是证明判别式恒大于0
（2）将两函数联立，求出m即可，
（3）利用二次函数旋转180°后，系数之间的关系，得出新函数的解析式，在表示出M，N的坐标，即可解决．

解答：（1）证明：△=[-（m-1）]²-4（m-3）=m²-2m+1-4m+12=m²-6m+13=（m-3）²+4，
∵不论m取何值时，（m-3）²≥0，
∴（m-3）²+4＞0，即△＞0，
∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：将x=2代入方程x²-（m-1）x+m-3=0，得m=3，
再将m=3代入，原方程化为x²-2x=0，
解得x₁=0，x₂=2．

（3）解：将m=3代入得抛物线：y=x²-2x，将抛物线y=x²-2x绕原点旋转180°得到的图象C₂的解析式为：y=-x²-2x．设P（x，0），
则M（x，x²+3），N（x，-x²-2x），MN=(x2+3)-(-x2-2x)=2x2+2x+3=2(x+

1

2

)2+

5

2

，
∴当x=-

1

2

时，MN的长度最小，此时点P的坐标为(-

1

2

，0)．

点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式，以及一次函数与二次函数的综合应用，还有二次函数的旋转等，题目综合性较强．