【题目】在四边形中,对角线、相交于点,将绕点按逆时针方向旋转得到,旋转角为θ(0°<θ<90°),连接、,与交于点.
(1)如图1,若四边形是正方形.
①求证:≌.
②请直接写出与的位置关系.
(2)如图2,若四边形是菱形,,,设.判断与的位置关系,说明理由,并求出的值.
(3)如图3,若四边形是平行四边形,,,连接,设.请直接写出的值和的值.
【答案】(1)①证明见解析;②AC1⊥BD1;(2)k=,AC1⊥BD1,理由见解析;(3)k=,AC12+(kDD1)2=25
【解析】
(1)①根据正方形与旋转的性质,通过SAS证明两三角形全等;
②由全等三角形的性质得出,通过证明进行求解;
(2)根据菱形与旋转的性质得出OC1=OA,OD1=OB,∠AOC1=∠BOD1,进而可证明△AOC1∽△BOD1,利用相似三角形的性质进行求解;
(3)同(2)的解法相似可求出k的值,根据旋转的性质得出OD1=OB=OD,进而可得出,利用勾股定理进行求解.
(1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴OC=OA=OD=OB,AC⊥BD,
∴∠AOB=∠COD=90°,
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1,
∴OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,
∴OC1=OD1,∠AOC1=∠BOD1,
在△AOC1和△BOD1中,
,
∴△AOC1≌△BOD1(SAS);
②解:AC1⊥BD1,理由如下:
∵△AOC1≌△BOD1,
∴,
∵,
∴,即,
∴AC1⊥BD1;
(2)解:AC1⊥BD1,理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴OC=OA=AC,OD=OB=BD,AC⊥BD,
∴∠AOB=∠COD=90°,
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1,
∴OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,
∴OC1=OA,OD1=OB,∠AOC1=∠BOD1,
∴,
∴△AOC1∽△BOD1,
∴∠OAC1=∠OBD1,
又∵∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,
∴∠APB=90°,
∴AC1⊥BD1,
∵△AOC1∽△BOD1,
∴=,
∴k=;
(3)解:与(2)一样可证明△AOC1∽△BOD1,
∴,
∴k=;
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1,
∴OD1=OD,而OD=OB,
∴OD1=OB=OD,
∴△BDD1为直角三角形,即,
在Rt△BDD1中,BD12+DD12=BD2=100,
∴(2AC1)2+DD12=100,
∴AC12+(kDD1)2=25.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形ABCD中,P是BC上一点,E是AB上一点,PD平分∠APC,PE⊥PD,连接DE交AP于F,在以下判断中,不正确的是( )
A.当P为BC中点,△APD是等边三角形
B.当△ADE∽△BPE时,P为BC中点
C.当AE=2BE时,AP⊥DE
D.当△APD是等边三角形时,BE+CD=DE
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】定义:在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.已知图1,图2中的每一个小方格的边长都为1.
(1)的三边长为,,.
①在图1中画一个符合题意的;
②求的边上的高线长;
(2)在的方格纸纸板中最多能剪下(要完整不拼凑)多少个与(1)中全等的三角形?并在图2中设计出来.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知,抛物线的顶点为P(3,—2),且在x轴上截得的线段AB=4.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点Q在抛物线上,且ΔQAB的面积为12,求Q点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,点A在x轴上,OA=4,将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置.
(1)求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式;
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3 )如图2,OC=4,⊙A的半径为2,点M是⊙A上的一个动点,求MC+OM的最小值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,点与点关于轴对称.
(1)求点,,的坐标;
(2)求直线的解析式;
(3)在直线下方的抛物线上是否存在一点,使的面积最大?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)如图1,菱形的顶点、在菱形的边上,且,请直接写出的结果(不必写计算过程)
(2)将图1中的菱形绕点旋转一定角度,如图2,求;
(3)把图2中的菱形都换成矩形,如图3,且,此时的结果与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无变化,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法正确的是( )
A.“打开电视机,正在播世界杯足球赛”是必然事件
B.甲组数据的方差是,乙组数据的方差是,则乙组数据比甲组数据稳定
C.一组数据2,3,4,5,5,6的众数和中位数都是5
D.“掷一枚硬币,正面朝上的概率是0.5”表示每抛掷硬币2次就有1次正面朝上
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】给定一个函数,如果这个函数的图象上存在一个点,它的横、纵坐标相等,那么这个点叫做该函数的不变点.
(1)一次函数的不变点的坐标为______.
(2)二次函数的两个不变点分别为点(在的左侧),将点绕点顺时针旋转90°得到点,求点的坐标.
(3)已知二次函数的两个不变点的坐标为.
①求的值;
②如图,设抛物线与线段围成的封闭图形记作.点为一次函数的不变点,以线段为边向下作正方形.当两点中只有一个点在封闭图形的内部(不包含边界)时,求出的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com