Question

19．如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E．
（1）求证：△BPO≌△PDE；
（2）若PB平分∠ABO，其余条件不变，求证：AP=CD；
（3）若点P是一个动点，点P运动到OC的中点时，满足题中条件的点D也随之在射线BC上运动，DE⊥射线AC于E，设CD=x，AP=y，请写出y与x的函数关系．

Answer 1

分析 （1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可；
（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（3）设OP=CP=a，求出AP=3a，CD=$\sqrt{2}$a，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
∵$\left\{\begin{array}{l}∠3=∠4\\∠BOP=∠PED\\ BP=PD\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
∵$\left\{\begin{array}{l}∠A=∠C\\∠ABP=∠4\\ PB=CD\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．

（3）解：x与y的数量关系是x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$y．
理由：如图，设OP=PC=a，则AO=OC=2a=BO，
则AP=2a+a=3a，
由△OBP≌△EPD，得BO=PE，
PE=2a，CE=2a-a=a，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=a，由勾股定理得：CD=$\sqrt{2}$a，
即y=3a，x=$\sqrt{2}$a，
∴x与y的数量关系是x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$y．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力．