Question

5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上．

（1）b=-2，c=-3，点B的坐标为（-1，0）；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点B的坐标；
（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P₁，P₂两点先求得AC的解析式，然后可求得P₁C和P₂A的解析式，最后再求得P₁C和P₂A与抛物线的交点坐标即可；
（3）连接OD．先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得：b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
∵令x²-2x-3=0，解得：x₁=-1，x₂=3．
∴点B的坐标为（-1，0）．
故答案为：-2；-3；（-1，0）．
（2）存在．
理由：如图所示：

①当∠ACP₁=90°．
由（1）可知点A的坐标为（3，0）．
设AC的解析式为y=kx-3．
∵将点A的坐标代入得3k-3=0，解得k=1，
∴直线AC的解析式为y=x-3．
∴直线CP₁的解析式为y=-x-3．
∵将y=-x-3与y=x²-2x-3联立解得x₁=1，x₂=0（舍去），
∴点P₁的坐标为（1，-4）．
②当∠P₂AC=90°时．
设AP₂的解析式为y=-x+b．
∵将x=3，y=0代入得：-3+b=0，解得b=3．
∴直线AP₂的解析式为y=-x+3．
∵将y=-x+3与y=x²-2x-3联立解得x₁=-2，x₂=3（舍去），
∴点P₂的坐标为（-2，5）．
综上所述，P的坐标是（1，-4）或（-2，5）．
（3）如图2所示：连接OD．

由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在Rt△AOC中，
∵OC=OA=3，OD⊥AC，
∴D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴$DF=\frac{1}{2}OC=\frac{3}{2}$．
∴点P的纵坐标是$-\frac{3}{2}$．
∴${x^2}-2x-3=-\frac{3}{2}$，解得：$x=\frac{{2±\sqrt{10}}}{2}$．
∴当EF最短时，点P的坐标是：（$\frac{{2+\sqrt{10}}}{2}$，$-\frac{3}{2}$）或（$\frac{{2-\sqrt{10}}}{2}$，$-\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、矩形的性质、垂线的性质，求得P₁C和P₂A的解析式是解答问题（2）的关键，求得点P的纵坐标是解答问题（3）的关键．