Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．
（1）求△ABC内切圆的半径；
（2）若移动圆心O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切．
①求半径r的取值范围；
②当⊙O的半径为

12

7

时，求圆心O的位置．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：（1）利用勾股定理即可求得△ABC的面积，然后根据S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC即可求解；
（2）①当⊙O与边AC相切于C时，圆的半径最大，过圆心作OD⊥AB于点D，连接OA，设半径是r，根据S_△AOC+S_△AOD+S_△BOD即可求解；
②当⊙O与边AC相切于C时，圆心用O表示，利用勾股定理即可求得OA的长，当⊙O的半径为

12

7

时，求圆心O用O'表示，作O′E⊥AB于点E，则△AOE∽△AOD，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OA'的长，从而确定圆心的位置．

解答：解：（1）在直角△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
设内切圆的半径是：r．
则

1

2

AB•r+

1

2

BC•r+

1

2

AC•r=

1

2

AC•BC，
即5r+4r+3r=12，
解得：r=1；

（2）①当⊙O与边AC相切于C时，圆的半径最大，如图．
过圆心作OD⊥AB于点D，连接OA．
则AD=AC=3，BD=5-3=2，
设半径是r，则S_△AOC+S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×3×4，
即

1

2

×3r+

1

2

×3r+

1

2

×2r=

1

2

×3×4，
解得：r=

3

2

，
则半径r的取值范围是：0＜r≤

3

2

；
②当⊙O与边AC相切于C时，圆心用O表示，则OA=

AD2+OD2

=

32+ 9 4

=

3 5

2

，
当⊙O的半径为

12

7

时，求圆心O用O'表示，则作O′E⊥AB于点E．
则A、O、O′在一条直线上，
△AOE∽△AOD，
∴

OA

OA′

=

OD

O′E

，
即

3 5

2OA′

=

3 2

12 7

，
解得：OA′=

12 5

7

．
则圆心在∠CAB的平分线上，且到O的距离是

12 5

7

．

点评：本题考查了三角形的内切圆的计算，以及角平分线的性质，相似三角形的性质，正确理解圆心O一定在∠CAB的平分线上是关键．