Question

2．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两边在坐标轴上，其中点B的坐标为（4，3），过点A的直线AD的解析式为y=2x+3，点P是直线AD上一动点，点Q是线段BC（包括B，C两点）上一动点．
（1）若AP=AQ且AP⊥AQ，求点P的坐标及AQ的解析式；
（2）以P，B，C为顶点作平行四边形PBEC，当对角线PE的值最小时，求点P的坐标；
（3）将直线y=2x+3向右平移3个单位，在该直线上存在点N，使△ANQ为等腰直角三角形，请直接写出平移后的直线解析式和满足条件的点N坐标．

Answer 1

分析 （1）首先根据直线AD的解析式为y=2x+3，且AP⊥AQ，求出直线AQ的斜率；然后应用点斜式，求出直线AQ的解析式以及点Q的坐标各是多少；最后根据AP=AQ，求出点P的坐标是多少即可．
（2）首先连接PE交BC于点M，判断出当MP⊥AD时，MP的值最小；然后应用点斜式，求出直线PE的解析式；最后求出直线AD、直线PE的交点P的坐标是多少即可．
（3）首先求出将直线y=2x+3向右平移3个单位后的直线解析式是：y=2x-3；然后设AN⊥NQ，且AN=NQ，点N坐标是（d，2d-3），点Q的坐标是（4，e），根据等腰三角形的性质，求出满足条件的点N坐标是多少即可．

解答 解：（1）如图1，
，
∵直线AD的解析式为y=2x+3，且AP⊥AQ，
∴直线AQ的斜率为-$\frac{1}{2}$，
∴设直线AQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∵四边形OABC是矩形，且点B的坐标为（4，3），
∴点A的坐标为（0，3），
∴b=3，
∴直线AQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
∵点Q的横坐标是4，且-$\frac{1}{2}×4+3=1$，
∴点Q的坐标是（4，1），
设点P的坐标是（a，2a+3），
∵AP=AQ，
∴a²+（2a+3-3）²=4²+（1-3）²=20，
∴a²=4，
解得a=2或a=-2，
①当a=2时，2×2+3=7，
∴点P的坐标是（2，7）．
②当a=-2时，2×（-2）+3=-1，
∴点P的坐标是（-2，-1）．
综上，可得
点P的坐标是（2，7）或（-2，-1），直线AQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．

（2）如图2，连接PE交BC于点M，
，
∵四边形PBEC是平行四边形，
∴PM=ME=$\frac{1}{2}PE$，
∴当MP⊥AD时，MP的值最小，
即PE⊥AD时，对角线PE的值最小，
∵直线AD的解析式为y=2x+3，且PE⊥AD，
∴直线PE的斜率为-$\frac{1}{2}$，
∴设直线PE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+c，
∵四边形OABC是矩形，且点B的坐标为（4，3），点C的坐标为（4，0），
∴点M的坐标为（4，1.5），
∴-$\frac{1}{2}$×4+c=1.5，
解得c=3.5，
∴直线PE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3.5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-\frac{1}{2}x+3.5}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{5}}\\{y=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$
∴当对角线PE的值最小时，点P的坐标是（$\frac{1}{5}$，$\frac{17}{5}$）．

（3）如图3，
，
∵将直线y=2x+3向右平移3个单位，
∴平移后的直线解析式是：
y=2（x-3）+3=2x-3，
设AN⊥NQ，且AN=NQ，点N坐标是（d，2d-3），点Q的坐标是（4，e），
∵AN=NQ，
∴AN²=NQ²，
∴d²+（2d-3-3）²=（d-4）²+（2d-3-e）²，
整理，可得
（e+3）²-4d（e+3）+16d-20=0…（1），
∵A（0，3），Q（4，e），
∴AQ的中点的坐标是（2，$\frac{e+3}{2}$），
∴$\frac{e-3}{4}×\frac{2d-3-\frac{e-3}{2}}{d-2}=-1$，
整理，可得
（e-3）²-（4d-6）（e-3）-8d+16=0…（2），
（1）-（2），可得
6e-18=0，
解得e=3，
把e=3代入（2），可得16-8d=0，
解得d=2，
∴点N坐标是（2，1），
综上，可得
平移后的直线解析式是y=2x-3，满足条件的点N坐标是（2，1）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（3）此题还考查了直线解析式的求法，以及平行四边形的性质和应用，要熟练掌握．