Question

从1，2，3，…，1000中找n个数，使其中任两个数的和是36的倍数，则n的最大值为（　　）

• A、25
• B、26
• C、27
• D、28

Answer 1

考点：约数与倍数

专题：探究型

分析：不妨设找出的任意三个数为a、b、c，根据条件可推出a、b、c都是18的倍数，进而可得到找出的n个数都是18的倍数．由于找出的任意两个数的和是36的倍数，因此找出的n个数都是18的奇数倍或都是18的偶数倍．然后分别讨论就可解决问题．

解答：解：不妨设找出的任意三个数为a、b、c，
由题可得：a+b=36n₁①，a+c=36n₂②，b+c=36n₃③，其中n₁、n₂、n₃是正整数．
由①+②-③得：2a=36（n₁+n₂-n₃），即a=18（n₁+n₂-n₃）．
则a是18的倍数．
同理可得：b、c都是18的倍数．
由于a、b、c表示任意的三个数，因此找出的n个数都是18的倍数．
由于找出的任意两个数的和是36的倍数，因此找出的n个数都是18的奇数倍或都是18的偶数倍．
①若找出的n个数都是18的奇数倍，则找出的最大的数可表示为18（2n-1）．
解18（2n-1）≤1000得：n≤

509

18

．
所以n取到最大值，为28．
②若找出的n个数都是18的偶数倍，则找出的最大的数可表示为18×2n即36n．
解36n≤1000得：n≤

250

9

．
所以n取到最大值，为27．
综上所述：n的最大值为28．
故选：D．

点评：本题注重对推理能力的考查，而证到找出的n个数都是18的倍数是解决本题的关键．