Question

【题目】如图，已知矩形ABCD，对角线BD的垂直平分线分别交AD，BC和BD于点E，F，O．EF，DC的延长线交于点G，且OD＝CG，连接BE．

（1）求证：△DOE≌△GCF；

（2）求证：BE平分∠ABD．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

（1）由AAS即可得出△DOE≌△GCF；

（2）证△DOE≌△BOF（AAS），得出DE＝BF，求出AE＝CF＝OE，即可得出结论．

证明：（1）∵EF是BD垂直平分线，

∴∠EOD＝90°，

在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BCD＝90°，

∴∠DEO＝∠GFC，∠DEO＝∠BFO，∠FCG＝90°，

∴∠EOD＝∠FCG，

在△DOE和△GCF中，

，

∴△DOE≌△GCF（AAS）；

（2）由（1）得：△DOE≌GCF，

∴OE＝CF，

∵EF是BD垂直平分线，

∴OB＝OD，

在△DOE和△BOF中，

，

∴△DOE≌△BOF（AAS），

∴DE＝BF，

∵AD＝BC，

∴AE＝CF＝OE，

又∵EA⊥BA，EO⊥BO，

∴BE平分∠ABD．