Question

如图．梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC中点，EF⊥DE交AB于F．求证：DE平分∠CDF．

Answer 1

分析：延长FE交DC延长线与点G．先证△CEG≌△BEF，然后证△DEG≌△DEF．

解答：证明：如图，延长FE交DC延长线与点G．
∵AB∥DC，E是BC中点，
∴∠G=∠EBF，CE=BE，
∴在△CEG与△BEF中，

∠G=∠BEF ∠GEC=∠FEB CE=BE

，
∴△CEG≌△BEF（AAS），
∴EG=EF．
∵EF⊥DE，
∴∠DEG=∠DEF．
∴在△DEG与△DEF中，

EG=EF ∠DEG=∠DEF DE=DE

，
∴△DEG≌△DEF（SAS），
∴∠GDE=∠FDE，即DE平分∠CDF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．根据已知条件，作出辅助线，构建全等三角形是解题的难点．