【题目】如图,B是的半径OA上的一点(不与端点重合),过点B作OA的垂线交于点C,D,连接OD,E是上一点,,过点C作的切线l,连接OE并延长交直线l于点F.
(1)①依题意补全图形.
②求证:∠OFC=∠ODC.
(2)连接FB,若B是OA的中点,的半径是4,求FB的长.
【答案】(1)①补图见解析;②证明见解析;(2)FB=.
【解析】
(1)①根据题意,补全图形即可;
②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°,根据垂径定理可得,利用等量代换可得,根据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD,由切线性质可得OC⊥FC,可得∠OFC+∠FOC=90°,即可证明∠OFC=∠ODC;
(2)连接BF,作BG⊥l于G,根据OB=OA,可得∠OCB=30°,利用勾股定理可求出BC的长,根据垂径定理可得CD的长,由(1)可知∠OFC=∠ODC,可得FC=CD,由BG⊥l,OC⊥l可得OC//BG,根据平行线的性质可得∠CBG=30°,根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG的长,利用勾股定理可求出BG的长,即可求出FG的长,利用勾股定理求出FB的长即可.
(1)①延长OE,交直线l于F,如图即为所求,
②∵OA⊥CD,OA为⊙O半径,
∴,
∵,
∴,
∴∠EOC=∠AOD,
∵FC是⊙O的切线,
∴OC⊥FC,
∴∠OFC+∠FOC=90°,
∴∠OFC=∠ODC.
(2)连接BF,作BG⊥l于G,
∵B是OA的中点,⊙O半径为4,
∴OB=OA=OC=2,
∵OA⊥CD,
∴∠OCD=30°,BC===,
∴CD=2BC=,
由(1)可知∠OFC=∠ODC,
∴FC=CD=,
∵BG⊥l,OC⊥l,
∴OC//BG,
∴∠CBG=∠OCD=30°,
∴CG=BC=,BG==3,
∴FG=FC+CG=,
∴BF==.
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【题目】如图,在中,,以为直径作,点D在上,,,垂足为点E,与和分别交于点M、F.连接、、.
(1)证明:是的切线;
(2)若,,求的半径长;
(3)在(2)的条件下,求的长.
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【题目】如图所示,已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点,当x=﹣时,y取最大值.
(1)求抛物线和直线的解析式;
(2)设点P是直线AC上一点,且S△ABP:S△BPC=1:3,求点P的坐标;
(3)若直线y=x+a与(1)中所求的抛物线交于M、N两点,问:
①是否存在a的值,使得∠MON=90°?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
②猜想当∠MON>90°时,a的取值范围(不写过程,直接写结论).
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为P.
(1)直接写出点A,C,P的坐标.
(2)画出这个函数的图象.
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【题目】在中,D是边BC上一点,以点A为圆心,AD长为半径作弧,如果与边BC有交点E(不与点D重合),那么称为的A-外截弧.例如,图中是的一条A-外截弧.在平面直角坐标系xOy中,已知存在A-外截弧,其中点A的坐标为,点B与坐标原点O重合.
(1)在点,,,中,满足条件的点C是_______.
(2)若点C在直线上.
①求点C的纵坐标的取值范围.
②直接写出的A-外截弧所在圆的半径r的取值范围.
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【题目】下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程.
已知:如图1,及上一点P.
求作:直线PQ,使得PQ与相切.
作法:如图2,
①连接PO并延长交于点A;
②在上任取一点B(点P,A除外),以点B为圆心,BP长为半径作,与射线PO的另一个交点为C.
③连接CB并延长交于点Q.
④作直线PQ;
所以直线PQ就是所求作的直线.
根据小石设计的尺规作图的过程.
(1)使用直尺和圆规,补全图形:(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵CQ是的直径,
∴________(________________)(填推理的依据)
∴.
又∵OP是的半径,
∴PQ是的切线(________________)(填推理的依据)
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【题目】为了在校运会中取得更好的成绩,小丁积极训练.在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是米,当铅球运行的水平距离为3米时,达到最大高度的B处.小丁此次投掷的成绩是多少米?
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【题目】已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3
(1)求出顶点,并画出二次函数的图象.
(2)根据图象解决下列问题
①若y>0,写出x的取值范围.
②求出﹣≤x≤2时,y的最大值和最小值.
③求出﹣5<y<3时,x的取值范围.
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