平行四边形ABCD在平面直角坐标系中如图放置.A.B.C三点均在坐标轴上.AD=6.若OA.OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根.且OA＞OB．(1)求C.D两点的坐标,(2)在y轴上是否存一点M.使得以A.B.M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在.试求出M点的坐标,若不存在.请说明理由．(3)连结BD交AC于点E.连结OD交AC于点P.求PE:PC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．平行四边形ABCD在平面直角坐标系中如图放置，A、B、C三点均在坐标轴上，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）在y轴上是否存一点M，使得以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，试求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连结BD交AC于点E，连结OD交AC于点P，求PE：PC的值．

分析（1）先求出OA，OB的长，即可求出OC，即可得出结论；
（2）分三种情况，利用等腰三角形的性质建立方程即可求出点M的坐标；
（3）先判断出△POC∽△PDA即可求出PC，再求出PE即可得出结论．

解答解：（1）解x²-7x+12=0，得，x=4或x=3，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=6-3=3，
∴C（3，0），D（6，4）；

（2）存在，分三种情况讨论：
①以点A为顶点时，AB=AM，
∵在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵点M在y轴上，
∴AM=5，
∴M（0，9）或（0，-1），
②以点B为顶点时，BM=AB=5，
∴M（0，-4），
③如图，以点M为顶点时，作AB的垂直平分线，分别交y轴，AB于点M，F，
∵∠AFM=90°，
∴△AFM∽△AOB，
∴$\frac{AF}{AO}=\frac{AM}{AB}$，
∴AM=$\frac{25}{8}$，
∴M（0，$\frac{7}{8}$），
即：（0，9）或（0，-1）或（0，-4）或（0，$\frac{7}{8}$）．
（3）在Rt△AOC中，OA=4，OC=3，
∴AC=5，
∵AD∥OC，
∴△POC∽△PDA，
∴$\frac{PC}{AP}=\frac{OC}{AD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴PC=$\frac{5}{3}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∴PE=$\frac{5}{6}$，
∴PE：PC=$\frac{5}{6}$：$\frac{5}{3}$=1：2．

点评此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，解一元二次方程，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解本题的关键是用方程的思想思考问题．

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2．

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，点P从A出发沿线路AB-BC作匀速运动，点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC-CB作匀速运动逐步靠近点P．设两点P、Q的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒（a＞1），它们在t秒后于BC边上的某一点E相遇．
（1）求出AC与BC的长度；
（2）试问两点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？
（3）若以D、E、C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出a与t的值．（结果精确到0.1）

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3．

如图，四边形ABCD中，AD=BC，P是四边形ABCD外一点，且PA=PD，PB=PC，∠APB=∠DPC．
（1）求证：∠ABC=∠DCB；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．

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20．计算：-$\sqrt{8}$×$\sqrt{\frac{1}{2}}$=-2．

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7．计算：-（3$\sqrt{27}$-2$\sqrt{8}$）+（2$\sqrt{3}$-3）（3-2$\sqrt{3}$）

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17．拓广探索：七年某班师生为了解决“2²⁰¹⁴个位上的数字是4．”这个问题，通过观察、分析、猜想、验证、归纳等活动，从而使问题得以解决，体现了从特殊到一般的数学思想方法．师生共同探索如下：
（1）认真填空，仔细观察．
因为2¹=2，所以2¹个位上的数字是2；因为 2²=4，所以2²个位上的数字是4；因为 2³=8，所以 2³个位上的数字是8；因为 2⁴=16，所以2⁴个位上的数字是6；因为 2⁵=32，所以 2⁵个位上的数字是2；因为 2⁶=64，所以2⁶个位上的数字是4；
（2）小明是个爱动脑筋的学生，他利用上述方法继续探索，马上发现了规律，于是猜想：2¹⁰个位上的数字是4，你认为对吗？
（3）利用上述得到的规律，可知：2²⁰¹³个位上的数字是2．
（4）利用上述研究数学问题的思想与方法，试求：3²⁰¹⁴个位上的数字是9．

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4．

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$．
（1）求过点A、B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

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1．计算：
（1）（-7$\sqrt{\frac{3}{14}}$）²
（2）4$\sqrt{5}$+$\sqrt{45}$-$\sqrt{8}$+4$\sqrt{2}$
（3）6-2$\sqrt{\frac{3}{2}}$-3$\sqrt{\frac{3}{2}}$．

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2．计算：
（1）$\sqrt{2^2}$-$\sqrt{2\frac{1}{4}}$+$\root{3}{{\frac{7}{8}-1}}$-$\root{3}{-1}$
（2）|$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}}$|+|$\sqrt{3}$-2|-（$\sqrt{2}$-1）．

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