Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB：BC=DF：BF．

Answer 1

分析 首先由直角三角形的性质可得：△CBA∽△ABD，根据相似三角形的对应边成比例，可得：AB：BC=AD：BD，又由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证得：ED=$\frac{1}{2}$BC=EC，可得：∠C=∠EDC，则易得：∠FBD=∠FDA，∠F为公共角，证得：△DAF∽△BDF，则得：AD：BD=DF：BF，则问题得证．

解答 证明：∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△CAB∽△BAD，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{BD}$，
∴AB：BC=AD：BD①，
∴∠C=∠FBD，
又∵E为AC的中点，BD⊥AC，
∴ED=$\frac{1}{2}$BC=EC，
∴∠C=∠EDC，
又∵∠EDC=∠FDA，
∴∠FBD=∠FDA，∠F为公共角，
∴△DAF∽△BDF，
∴AD：BD=DF：BF②，
由①②得，AB：BC=DF：BF．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．