Question

（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x²+2x-3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．

解答：解：（1）由于抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），
将C点坐标（0，-3）代入，得：
a（0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，
则y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3，
所以抛物线的解析式为：y=x²+2x-3；

（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．
设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得

-3k+m=0 m=-3

，解得

k=-1 m=-3

，
∴直线AC的解析式为：y=-x-3．
设P点坐标为（x，x²+2x-3），则点N的坐标为（x，-x-3），
∴PN=PE-NE=-（x²+2x-3）+（-x-3）=-x²-3x．
∵S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN，
∴S=

1

2

PN•OA
=

1

2

×3（-x²-3x）
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴当x=-

3

2

时，S有最大值

27

8

，此时点P的坐标为（-

3

2

，-

15

4

）；

（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y=x²+2x-3=y=（x+1）²-4，
∴顶点D的坐标为（-1，-4），
∵A（-3，0），
∴AD²=（-1+3）²+（-4-0）²=20．
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得AM²+AD²=DM²，即（0+3）²+（t-0）²+20=（0+1）²+（t+4）²，
解得t=

3

2

，
所以点M的坐标为（0，

3

2

）；
②当D为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得DM²+AD²=AM²，即（0+1）²+（t+4）²+20=（0+3）²+（t-0）²，
解得t=-

7

2

，
所以点M的坐标为（0，-

7

2

）；
③当M为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得AM²+DM²=AD²，即（0+3）²+（t-0）²+（0+1）²+（t+4）²=20，
解得t=-1或-3，
所以点M的坐标为（0，-1）或（0，-3）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，

3

2

）或（0，-

7

2

）或（0，-1）或（0，-3）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．