Question

7．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中点，DF⊥AE，点F是垂足．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）求S_△DFA和S_{四边形CDFE}．

Answer 1

分析 （1）已经有一对直角相等，只需再找一对锐角对应相等即可，由AD∥BC得∠1=∠2，问题得证；
（2）首先求出AF，DF的长，再利用四边形CDFE的面积=正方形面积-两个直角三角形面积得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴△ABE∽△DFA；

（2）解：∵AB=2，E是BC的中点，
∴BE=1，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∵△ABE∽△DFA，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AF}{BE}$=$\frac{DF}{BA}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{AF}{1}$=$\frac{DF}{2}$，
∴AF=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，DF=$\frac{4}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△DFA=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴S_{四边形CDFE}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△DFA=2²-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=2.2．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，涉及分割法求图形的面积问题，有一定的综合性，难度中等．