Question

如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论 ①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有                          （  ▲ ）

A．①④⑤    B．①②④     C．③④⑤      D．②③④     

Answer 1

A

因为在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，所以∠GAD=45°，∠ADG=∠ADO=22.5°
因为tan∠AED= ，因为AE=EF＜BE，
所以AE＜ AB，所以tan∠AED= ＞2，因此②错
因为AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，
所以S△AGD＞S△OGD，所以③错
根据题意可得：AE=EF，AG=FG，又因为EF∥AC，
所以∠FEG=∠AGE，又因为∠AEG=∠FEG，
所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，
所以四边形AEFG是菱形，因此④正确
由折叠的性质设BF=EF=AE=1，则AB="1+" ，BD="2+" ，DF="1+" ，
由此可求，
因为EF∥AC，
所以△DOG∽△DFE，
所以，
∴EF=  OG，
在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，
所以△BEF是等腰直角三角形，同理可证△OFG是等腰直角三角形，
在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
所以BE=2OG．因此⑤正确．