Question

如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，点O为斜边AB上一点，以点O为圆心、OA为半径的圆与BC相切于点D，与AB相交于点E，与AC相交于点F，连接OD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAD=22.5°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）利用切线BC的性质求得∠ODB=90°，再根据已知条件∠ACB=90°，来证明OD∥AC；然后由两直线平行内错角相等知∠1=∠3；最后由等腰三角形AOD的两个底角∠1=∠2及等量代换证明AD平分∠BAC；
（2）由圆周角定理求得∠EOD=2∠BAD=45°；然后利用扇形面积公式=

n π•42

360°

来求阴影部分的面积．

解答：（1）证明：∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°（1分）
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=∠ACB（2分）
∴OD∥AC（3分）
∴∠1=∠3（4分）
∵OD=OA，
∴∠1=∠2（5分）
∴∠2=∠3，即AD平分∠BAC（6分）

（2）解：∵∠BAD=22.5°，
∴∠EOD=45°（7分）
∴S阴影=

45°π•42

360°

（8分）

点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理及扇形的面积公式．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．