Question

18．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（ $\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出线段PC长度的最大值
（3）是否存在点P，使△APC为直角三角形？若存在，请直接写出相应的点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先由B（4，m）在直线y=x+2上，求得点B的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）首先设动点P的坐标为（n，n+2），则点C的坐标为：（n，2n²-8n+6），即可得PC=（n+2）-（2n²-8n+6），继而求得答案；
（3）分别从若A为直角顶点与若C为直角顶点，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴点B（4，6），
∵A（ $\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，6）在抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}=（\frac{1}{2}）^{2}a+\frac{1}{2}b+6}\\{6=16a+4b+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=2x²-8x+6；

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则点C的坐标为：（n，2n²-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n²-8n+6）=-2n²+9n-4=-2（n-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{49}{8}$，
∴当n=$\frac{9}{4}$时，线段PC最大，最大值为：$\frac{49}{8}$；

（3）存在．
易得点P不能是直角顶点．
①若A为直角顶点，如图1，
设AC的解析式为：y=-x+b，
将A点代入y=-x+b得b=3
∴AC的解析式为y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=2{x}^{2}-8x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$（舍去）
令P点的横坐标为3，则纵坐标为5，
∴P（3，5）；
②若C为直角顶点，如图2，
令2x²-8x+6=$\frac{5}{2}$，解得：x=$\frac{7}{2}$或x=$\frac{1}{2}$（舍去），
令P点的横坐标为$\frac{7}{2}$，则纵坐标为$\frac{11}{2}$，
∴P（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）；
综上可得：点P的坐标为：（3，5），（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了待定系数求函数解析式以及直角三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．