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    等边△ABC是⊙O的内接三角形，D是⊙O上一点，连接CD并延长交AB的延长线于点F，过点B作BE∥AC交CF于点E.

    （1）求证：BE是⊙O的切线；

    （2）若AC＝6，CD＝4，求CF的值.

     


    （1）证明：连接BO并延长交⊙O于点G，连接CG………………………1分

    ∴∠BCG＝90°

    ∵等边△ABC  ∴ ∠CAB＝∠ACB＝60°……2分

    ∴∠CGB＝∠CAB＝60°

    ∴∠CBG＝30°……………………3分

    ∵AC∥BE  

    ∴∠CBE＝∠ACB＝60°

    ∴∠CBE+∠CBG＝∠GBE＝90°…4分

    ∴BE是⊙O的切线. …………………5分

    （2）连接AD………………………………………………………………6分

    ∵AC是⊙O的弧　　∴∠ADC＝∠ABC…………………………7分

    ∵∠ABC＝∠BAC＝60°

    ∴∠BAC＝∠ADC＝60° …………………………………………8分

    ∵∠ACD＝∠FCA　

    ∴△CFA ∽△CAD

    ∴ …………………………………………………………9分

    ∵AC＝6，CD＝4

    ∴ ……………………………………………………10分

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•滨湖区模拟）如图，D、E是等边△ABC两边上的点，且AD=CE，连接AE、BD相交于点P．
    （1）求证：△ABD≌△CAE；
    （2）以AB为直径作半圆交AE于点Q，试求
    PQBP
    的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•梧州一模）等边△ABC是⊙O的内接三角形，D是⊙O上一点，连接CD并延长交AB的延长线于点F，过点B作BE∥AC交CF于点E．
    （1）求证：BE是⊙O的切线；
    （2）若AC=6，CD=4，求CF的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=
    1
    2
    AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=
    1
    4
    S，△D1E1F1的面积S1=
    1
    4
    S．
    （1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
    1
    3
    AB时如图2，
    ①求证：△D2E2F2是等边三角形；
    ②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=
     
    ；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=
     
    ．
    （2）按照上述思路探索下去，并填空：
    当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=
    1
    n+1
    AB时，（n为正整数）△DnEnFn是
     
    三角形；
    若用S表示△ADnFn的面积Sn，则Sn=
     
    ；若用S表示△DnEnFn的面积Sn′，则S′n=
     
    ．
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    等边△ABC是⊙O的内接三角形，D是⊙O上一点，连接CD并延长交AB的延长线于点F，过点B作BE∥AC交CF于点E．
    （1）求证：BE是⊙O的切线；
    （2）若AC=6，CD=4，求CF的值．

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